a) Ta có: $BA, BM$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A, M$

$\Rightarrow BA = BM$

Tương tự, ta được: $CA = CN$

$\Rightarrow BC = BA + CA = BM+ CN$

Cũng do tính chất 2 tiếp tuyến, ta được:

$\widehat{BOA} = \widehat{BOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{MOA}$

Tương tự ta được:

$\widehat{COA} = \dfrac{1}{2}\widehat{NOA}$

Do đó $\widehat{BOC} = \widehat{BOA} + \widehat{COA}$

$=\dfrac{1}{2}(\widehat{MOA} + \widehat{NOA})$

$=\dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong $∆BOC$ vuông tại $O$ đường cao $OA$ ta được:

$BA.CA = OA^2 = R^2$

$\Leftrightarrow BM.CN = R^2$

c) Gọi $E$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow EO = EB = EC$

$\Rightarrow E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆BOC$ đường kính $BC$

Ta lại có $O$ là trung điểm $MN$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của hình thang vuông $MNCB$

$\Rightarrow OE//MB//NC$

$\Rightarrow OE\perp MN$

$\Rightarrow MN$ là tiếp tuyến của $\left(E;\dfrac{BC}{2}\right)$