TH1: tanx^n = $(\tan x)^n = \tan^nx$

Khi đó ta có

$y = f(x) = \tan x . \tan^2x . \dots . \tan^{99}x$

$= (\tan x)^{1 + 2 + \cdots + 99}$

$= (\tan x)^{4950}$

Mặt khác, ta xét

$f(-x) = [\tan(-x)]^{4950}$

$= (-\tan x)^{4950}$

$= \tan^{4950}x = f(x)$

Vậy $f(x)$ là hàm chẵn.

TH2: tanx^n = $\tan(x^n)$

Khi đó ta xét

$f(-x) = \tan(-x) . \tan[(-x)^2] . \dots . \tan [(-x)^{99}]$

$= (-\tan x) . \tan(x^2) . \dots . [-\tan(x^{99})]$

$= (-1)^n . \tan x . \tan(x^2) . \dots . \tan(x^{99})$

$= (-1)^n . f(x)$

Ta thấy tại những thừa số có lũy thừa của $x$ là lẻ thì sẽ phải nhân với $-1$ ra ngoài. Vậy lũy thừa của $1$ là số các số lẻ từ $1$ đến $99$. Số các số như vậy là

$\dfrac{99-1}{2} + 1 = 50$

Suy ra

$f(-x) = (-1)^{50} . f(x) = f(x)$

Vậy $f(x)$ là hàm chẵn.

Vậy ở cả hai trường hợp thì $f(x)$ luôn là hàm chẵn.

$f(x)=\tan x.\tan x^2.\tan x^3....\tan x^{99}$

Xét $f(-x)=\tan(-x).\tan(-x)^2.\tan(-x)^3...\tan(-x)^{99}$

Khi số mũ lẻ, $\tan(-x)^n=-\tan x^n$

Khi số mũ chẵn,  $\tan(-x)^n=\tan x^n$

Từ 1 đến 99 có tất cả 50 số lẻ và 49 số chẵn, do đó có 50 dấu trừ.

Do đó $f(-x)=f(x)\to$ hàm chẵn