a ) Ta có :

MN $\bot$ AB

AC $\bot$AB

→ MN//AC

Xét tam giác ABC có : 

MN//AC

MB//MC

→ NB = NA

Vậy MN là đường trung bình tam giác ABC

Nên MN=`1/2`AC

Suy ra AC = 2MN

b) Xét tư giác ANMP có :

$\widehat{A}$ = $\widehat{N}$ = $\widehat{P}$ = $90^\circ$

Nên ANMP là hình chữ nhật có E = AM$\cap$MN 

→ EM//EA

Xét tam giác AMC có :

ME=EA(CMT)

FM = FC (GT)

Vậy EF là đường trung bình $\triangle$AMC

→ EF/AC

Vậy AEFC Là hình thang

c ) Mà AE = `1/2`AM , FC = `1/2`MC

AM = MC ( Trung tuyến AM)

Nên AE = FC 

Suy ra AEFC là hình thang cân.

d ) Ta có :

AH $\bot$ BC

MN // AH

H $\in$ BC

K $\in$ AC

Vậy BK $\bot$ HN ( t/c bắt cầu)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a Vì $\left \{ {{MN⊥AB} \atop {AC⊥AB}} \right.$ ⇒MN//AC từ vuông góc đến song song

Xét ΔABC có

BM=CM gt

MN//AC

⇒NB=NA định lý 1 về đường trung bình của tam giác

⇒MN là đường trung bình của ΔABC

⇒MN=$\frac{1}{2}$AC định lý 2 về đường trung bình của tam giác

b Ta có AM=$\frac{1}{2}$BC tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và bằng nữa cạnh huyền 

mà BM=MC gt

⇒AM=MC 

Xét ΔAMP và ΔCMP

MP là cạnh chung

AM=MC cmt

`\hat{APM}`=`\hat{CPM}`=$90^0$

⇒ΔAMP = ΔCMP cạnh huyền cạnh góc vuông

⇒AP=CP 2 cạnh tương ứng

MN=$\frac{1}{2}$AC câu a

mà CP=$\frac{1}{2}$AC

⇒MN//CP (1)

mà MN//AC

⇒MN//CP (2)

Từ (1)và(2)⇒tứ giác CMNP là hình bình hành

c Ta có $\widehat{NAP}$=$\widehat{ANM}$=$\widehat{APM}$=$90^0$

⇒tứ giác ANMP là hình chữ nhật

⇒AM cắt NP tại trung điểm E của mỗi đường

⇒AE=EM

Ta có AE=EM

MF=FC

⇒EF là đường trung bình của ΔAMC

⇒EF//AC định lý 2 về đường trung bình của tam giác

mà AM=MC (3)

⇒ΔAMC cân tại M

⇒$\widehat{MAC}$=$\widehat{MCA}$(4)

Từ (3) và(4)⇒CFEA là hình thang cân

d mình quên cách làm rồi