Giải thích các bước giải:

Hình đơn giản bạn tự vẽ

`a)`

Ta có : `{BF}/{BA} = {7,2}/{18} = 2/5,{BE}/{BC} = {12}/{30} = 2/5 `

Xét $\triangle$`FBE` và $\triangle$`ABC` có

$\begin{cases} \dfrac{BF}{BA} = \dfrac{BE}{BC}= \dfrac{2}{5}\\Góc B chung\\ \end{cases}$

`=>`  $\triangle$`FBE` $\backsim$ $\triangle$`ABC`  `(c.g.c)`

Ta có $\triangle$`FBE` $\backsim$ $\triangle$`ABC` (cmt)

`=>` $\widehat{EFB}$ `=` $\widehat{CAB}$ `= 90^o`

Mà $\widehat{EFB}$ `+` $\widehat{EFC}$ `= 180^o` (kề bù)

Nên $\widehat{EFC}$  `= 90^o` hay $\widehat{DFC}$ `= 90^o`

Xét $\triangle$`CAB` và $\triangle$`CFD` có : $\begin{cases} \widehat{CAB} = \widehat{CFD} = 90^o\\Góc C chung\\ \end{cases}$

`=>` $\triangle$`CAB` $\backsim$ $\triangle$`CFD` (gg)

Xét $\triangle$`CAF` và $\triangle$`CBD` có : $\begin{cases} \dfrac{CA}{CF} = \dfrac{CB}{CD}(cmt)\\Góc C chung\\ \end{cases}$

`=>` $\triangle$`CAF`  $\backsim$ $\triangle$`CBD` `=>` $\widehat{CAF}$ `=` $\widehat{CBD}$

`c)`

Xét $\triangle$`BCD` có `BA,DF` là các đường cao ,`BA` cắt `DF` tại `E(gt)`

`=>` `E` là trực tâm, Suy ra `CE⊥BD` tại `K`

Xét $\triangle$`DAB` và $\triangle$`DKC` có : $\begin{cases} \widehat{DAB}=\widehat{DKC}\\\widehat{ADC} chung\\ \end{cases}$

 `=>` $\triangle$`DAB` $\backsim$ $\triangle$`DKC` `=>` `{DA}/{DK} = {DB}/{DC}`

Xét $\triangle$`DAK` và $\triangle$`DBC` có : $\begin{cases}\dfrac{DA}{DK} = \dfrac{DB}{DC}\\\ Góc D chung\\ \end{cases}$

`=>` $\triangle$`DAK` $\backsim$ $\triangle$`DBC` (gg) 

`=>` $\widehat{DAK}$ `=` $\widehat{DBC}$

Mà $\widehat{CAF}$ `=` $\widehat{CBD}$ (cmt) nên $\widehat{DAK}$ `=` $\widehat{CAF}$

Mặc khác $\widehat{DAK}$ `+` $\widehat{KAB}$ `=`$\widehat{CAF}$ `+` $\widehat{FAB}$ `= 90^o`

Nên $\widehat{KAB}$ `=` $\widehat{FAB}$

`=>` `AB` là tia phân giác của góc `KAF`

Hay `AE` là tia phân giác của góc `KAI`

`=>` `{AK}/{AI} = {EK}/{EI} = {CK}/{CI}` (tính chất đg phân giác trong,ngoài)

`=> {EK}/{EI} = {CK}/{AO}  => IE.CK=KE.IC`