1) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$\begin{array}{l} \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3m + 7} \right) > 0\\  \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - {m^2} + 3m - 7 > 0\\  \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m - 6 > 0\\  \Leftrightarrow \left( {3m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) > 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > \dfrac{2}{3}\\ m <  - 3 \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} Viet \to \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - 2\left( {2m + 1} \right)\\ {x_1}{x_2} = {m^2} - 3m + 7 \end{array} \right.\\ x_1^2 + x_2^2 \le 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \le 5\\  \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3m + 7} \right) \le 5\\  \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} + 4m + 1} \right) - 2{m^2} + 6m - 14 - 5 \le 0\\  \Leftrightarrow 16{m^2} + 16m + 4 - 2{m^2} + 6m - 19 \le 0\\  \Leftrightarrow 14{m^2} + 22m - 15 \le 0\\  \Leftrightarrow \dfrac{{ - 11 - \sqrt {331} }}{{14}} \le m \le \dfrac{{ - 11 + \sqrt {331} }}{{14}} \end{array}$

Kiểm tra điều kiện ban đầu suy ra không có $m$ thỏa mãn.

b) $f(x)\ge 0$ có nghiệm $\forall x\in \mathbb{R}$ nên ta được:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0(Đ)\\ 3{m^2} - 7m - 6 \le 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m - 6 \le 0\\  \Leftrightarrow  - 3 \le m \le \dfrac{2}{3} \end{array}$