a)

Vì $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90{}^\circ $

$\to \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180{}^\circ $

$\to ABOC$ nội tiếp

b)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$, ta có:

+  $\widehat{BAD}$ là góc chung

+  $\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BD$)

Nên $\Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AD.AE$

Ta có:

+   $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+   $OB=OC=R$

Nên $OA$ là đường trung trực của $BC$

Do đó $OA\bot BC$ tại giao điểm $H$

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ với đường cao $BH$

Ta có $A{{B}^{2}}=AH.AO$ (hệ thức lượng)

Mà $A{{B}^{2}}=AD.AE\left( cmt \right)$

Nên $AH.AO=AD.AE$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AEO$, ta có:

+   $\widehat{HAD}$ là góc chung

+   $\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AHD\backsim\Delta AEO\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{AHD}=\widehat{AEO}$

Vậy $DEOH$ nội tiếp

c)

Ta có $AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hay là $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

Mà $AO\bot MN$

Tức là $AO$ vừa là đường cao, đường phân giác của $\Delta AMN$

Nên $\Delta AMN$ cân tại $A$

$\to AO$ cũng là đường trung tuyến

$\to O$ là trung điểm $MN$

Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AO.MN$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AO.2MO$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}=AO.MO$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}=OB.AM$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}=R.\left( AB+MB \right)$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}\ge R.2\sqrt{AB.MB}$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}\ge R.2\sqrt{O{{B}^{2}}}$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}\ge R.2\sqrt{{{R}^{2}}}$

$\to {{S}_{\Delta AMN}}\ge 2{{R}^{2}}$ (const)

$\to {{S}_{\Delta AMN}}$ nhỏ nhất $=2{{R}^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $AB=MB$

Khi đó $OB$ vừa là đường cao, đường trung tuyến $\Delta OAM$

$\to \Delta OAM$ vuông cân tại $O$

$\to \widehat{OAM}=45{}^\circ $

$\to \widehat{BAC}=2\widehat{OAM}=90{}^\circ $

$\to ABOC$ trở thành hình chữ nhật

Có $OB=OC=R$ nên $ABOC$ trở thành hình vuông

Vậy $A$ nằm ngoài $\left( O \right)$ sao cho $ABOC$ là hình vuông thì ${{S}_{\Delta AMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất