Đáp án: $\dfrac23a$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\hat A=\hat B=90^o, AB=BC=a, AD=2a$

$\to \Delta ABC,\Delta ACD$ vuông cân tại $B,C$

Trên tia đối của tia $AD$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=a$

$\to AE=BC$

Do $AD//CB\to AEBC$ là hình bình hành

$\to AC//BE$

$\to d(AC,SB)=d(AC,SBE)=d(A,SBE)$

Ta có $AE=BC=AB,\widehat{EAB}=\widehat{ABC}=90^o$

$\to \Delta AEB$ vuông cân tại $A$

Kẻ $AF\perp BE\to F$ là trung điểm $BE$

$\to AF=\dfrac12BE=\dfrac12AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Kẻ $AH\perp SF$

Vì $SA\perp ABCD\to SA\perp EB$

Mà $AF\perp BE\to BE\perp SAF$

$\to BE\perp AH$

$\to AH\perp SBE$

$\to d(A,SBE)=AH$

Xét $\Delta SAF$ vuông tịa $A, AH\perp SF$

$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AF^2}$

$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac9{4a^2}$

$\to AH=\dfrac23a$

$\to d(AC,SB)=\dfrac23a$

Từ $B$ kẻ $BE//AC, E∈AD$

Kẻ $AK⊥EB, AF⊥SK$

$→ d(AC,SB)$

$=d(AC,(SBE))$

$=d(A,(SBE))$

$=AF$

Vì $EBCA$ là hình bình hành nên 

$EA=BC=a$

$→ AK=\dfrac{AE.AB}{\sqrt[]{AE^2+AB^2}}$

$=\dfrac{a.a}{\sqrt[]{a^2+a^2}}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}$

Vậy $d(AC,SB)$ là:

$\dfrac{SA.AK}{\sqrt[]{SA^2+AK^2}}$

$=\dfrac{2a}{3}$