Không làm mất tính tổng quát, giả sử $\widehat{B} > \widehat{C}$

Xét $ΔABM$ có:

$AH$ là đường cao ứng với cạnh $BM$

$(AH\perp BM)$

$AH$ là phân giác ứng với $\widehat{BAM}$

$(\widehat{BAH} = \widehat{HAM} = \widehat{MAC})$

Do đó $ΔABM$ cân tại $A$

$\Rightarrow AH$ là trung tuyến ứng với cạnh $BM$

$\Rightarrow BH = HM = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}MC$

Từ $M$ kẻ $MN\perp AC \, (N\in AC)$

Xét $ΔHAM$ và $ΔNAM$ có:

$\widehat{HAM} = \widehat{MAN} \, (gt)$

$AM:$ cạnh chung

$\widehat{H} = \widehat{N} = 90^o$

Do đó $ΔHAM=ΔNAM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow HM = MN$

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}MC$

Xét $ΔMNC$ vuông tại $N$ có:

$MN = \dfrac{1}{2}MC \, (cmt)$

$\Rightarrow ΔMNC$ là nửa tam giác đều cạnh $MC$

$\Rightarrow \widehat{C} = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{HAC} = 90^o - \widehat{C} = 60^o$

$\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{HAM} = \widehat{MAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{HAC} = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = 90^o$

$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $A$

Xét $ΔABM$ cân tại $A$ có:

$\widehat{BAM} = 2\widehat{HAB} = 60^o$

Do đó $ΔABM$ đều

Vậy $∆ABC$ có $\widehat{A} = 90^o; \, \widehat{B} = 60^o;\, \widehat{C}=30^o$