Đáp án:

 A. $\dfrac V 3$

Giải thích các bước giải:

$V_{MNPQRG}=V_{G.MPQR}+V_{N.MPQR}$ ($V_{G.MPQR};V_{CMPQR}$ chung đáy MPQR, chiều cao hạ từ G và C có tỉ lệ bằng $\dfrac{GM}{CM}=\dfrac13$)
$=\dfrac13V_{C.MPQR}+V_{N.MPQR}$ (tứ giác PCQN là hình bình hành, nên C và N đối xứng nhau qua trung điểm PQ, nên hình chiếu hạ từ C và N lên MPQN là bằng nhau)
$=\dfrac43V_{N.MPQR}$ (tứ giác MPQN là hình bình hành nên $S_{MPR}=S_{QRP}$)
$=\dfrac43.2.V_{N.MPR}$
$=\dfrac83.V_{P.MNR}$
$=\dfrac83.\dfrac12.V_{C.MNR}$
$=\dfrac43.\dfrac14.V_{C.ABD}=\dfrac V3$

Ta có thể tích của khối đa diện $MNPQRG$ là

$V_{MNPQRG} = V_{ABCD} - V_{AMNP} - V_{DNRQ} - V_{G.BCQR} - V_{G.BRM} - V_{G.CPQ}$

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có

$V_{AMNP} = V_{ABCD} . \dfrac{AM}{AB} . \dfrac{AP}{AC} . \dfrac{AN}{AD} = V . \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{V}{8}$

và

$V_{DNRQ} = V_{ABCD} . \dfrac{DN}{DA} . \dfrac{DQ}{DC} . \dfrac{DR}{DB} = V . \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{V}{8}$

Gọi $AG \cap BC = S$.
Khi đó ta có $\dfrac{GS}{AS} = \dfrac{1}{3}$ suy ra

$d(G, BCD) = \dfrac{GS}{AS} . d(A, (BCD)) = \dfrac{1}{3} d(A, (BCD))$

Mặt khác, lại có tam giác $DRQ$ đồng dạng với tam giác $DBC$ với tỉ số $\dfrac{1}{2}$ suy ra 

$S_{DRQ} = \dfrac{1}{4} S_{BCD}$

Vậy $S_{BCQR} = \dfrac{3}{4} S_{BCD}$

Ta có

$V_{G.BCQR} = \dfrac{1}{3} . S_{BCQR} . d(G, BCQR)$

$= \dfrac{1}{3} . \dfrac{3}{4} S_{BCD} . \dfrac{1}{3} d(A, (BCD))$

$= \dfrac{3}{4} . \dfrac{1}{3} . V = \dfrac{V}{4}$

Ta có tam giác $BRM$ đồng dạng với tam giác $BDA$ với tỉ số $\dfrac{1}{2}$, suy ra

$S_{BRM} = \dfrac{1}{4} S_{BDA}$

Mặt khác, lại có

$\dfrac{d(G, (BRM))}{d(C, (BDA))} = \dfrac{GM}{CM} = \dfrac{1}{3}$

$<-> d(G, (BRM)) = \dfrac{1}{3} d(C, (BDA))$

Ta có

$V_{G.BRM} = \dfrac{1}{3} . d(G, (BRM)) . S_{BRM}$

$= \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{3} d(C, (BDA)) . \dfrac{1}{4} S_{BDA}$

$= \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{4} V_{ABCD}$

$= \dfrac{V}{12}$

Tính toán tương tự ta cũng có

$V_{G.CPQ} = \dfrac{V}{12}$

Vậy suy ra

$V_{MNPQRG} = V - \dfrac{V}{8} - \dfrac{V}{8} - \dfrac{V}{4} - \dfrac{V}{12} - \dfrac{V}{12}= \dfrac{V}{3}$

Đáp án $A$.