a) Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow DE = AH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tamg giác vuông, ta được:

$AH^2 = BH.CH = 4.9 =36$

$\Rightarrow DE = AH = 6 \, cm$

b) Ta có:

$\widehat{MDH} + \widehat{HDE} = 90^o \, (MD\perp DE)$

Ta cũng có:

$\widehat{ADE} + \widehat{HDE} = \widehat{ADH} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{MDH} = \widehat{ADE}$

Bên cạnh đó:

$\widehat{ADE} = \widehat{DAH}$ ($ADHE$ là hình chữ nhật)

$\widehat{DAH} = \widehat{DHM}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

Do đó $\widehat{MDH} = \widehat{DHM}$

$\Rightarrow ΔMDH$ cân tại $M$

$\Rightarrow MD = MH$ $(1)$

Tương tự, ta có:

$\widehat{BDM} + \widehat{ADE} = 90^o$

$\widehat{ADE} = \widehat{DHM} \, (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{BDM} + \widehat{DHM} = 90^o$

mà $\widehat{DBM} + \widehat{DHM} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{BDM} = \widehat{DBM}$

$\Rightarrow ΔMBD$ cân tại $M$

$\Rightarrow MB = MD$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow M$ là trung điểm $BH$

Chứng minh tương tự, ta được: $N$ là trung điểm $CH$

c) Ta có:

$MD\perp DE \, (gt)$

$NE\perp DE \, (gt)$

$\Rightarrow DENM$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$

$\Rightarrow S_{DENM} = \dfrac{1}{2}(DM + EN).DE = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}BH + \dfrac{1}{2}CH\right).AH = \dfrac{1}{4}(4 +9).6 = \dfrac{39}{2} \, cm^2$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90°$

$⇒ADHE$ là hình chữ nhật .

$⇒DE=AH$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC⊥A$ có :

$AH^2=BH.HC$

$⇔DE^2=4.9=36$

$⇔DE=6 (cm)$

b) Ta có : $MD⊥DE$

$⇒\widehat{MDH}+\widehat{HDE}=90°$

$\widehat{ADE}+\widehat{HDE}=90°$

$⇒\widehat{MDH}=\widehat{ADE}$

Mà $ADHE$ là hình chữ nhật $⇒ΔIAD$ cân tại $I$

$⇒\widehat{IAD}=\widehat{IDA}$

Và $\widehat{DAH}=\widehat{DHM}$ ( Cùng phụ $\widehat{B}$ )

$⇒\widehat{MDH}=\widehat{DHM}$

$⇒MDH$ cân tại $M$

$⇒MD=MH (*)$

$\widehat{BDM}+\widehat{ADE}=90°$ (Vì $\widehat{MDE}=90°$ )

$\widehat{ADE}=\widehat{DHM}$

$⇒\widehat{BDM}+\widehat{DHM}=90°$

Mà $\widehat{DBM}+\widehat{DHM}=90°$

$⇒\widehat{BDM}=\widehat{DBM}$

$⇒ΔMBD$ cân tại $M$

$⇒MB=MD (**)$

Từ $(*)$ và $(**) ⇒ M$ là trung điểm $BH$

Tương tự , ta chứng minh được $N$ là trung điểm của $HC$

c) Theo b) ⇒ $DM=\dfrac{1}{2}BH=2 (cm)$

$EN=\dfrac{1}{2}CH=4,5 (cm)$

$MD⊥DE ; NE⊥ED$

$⇒DM//EN$

$⇒DMNE$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$

Ta có :

$S_{DMNE}=\dfrac{1}{2}(DM+EN).DE$

$=\dfrac{1}{2}.(2+4,5).6$

$=\dfrac{6,5.6}{2}=\dfrac{38}{2}=19,5 (cm^2)$