a)

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$, ta có:

+  $\widehat{B}$ chung

+  $\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta HBA\backsim\Delta ABC\left( g.g \right)$

Xét $\Delta HAC$ và $\Delta ABC$, ta có:

+  $\widehat{C}$ chung

+  $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta HAC\backsim\Delta ABC\left( g.g \right)$

Vậy trong hình có hai tam giác đồng dạng với $\Delta ABC$

b)

Vì $\Delta HBA\backsim\Delta ABC$ và $\Delta HAC\backsim\Delta ABC$

Nên $\Delta HBA\backsim\Delta HAC$

$\to \dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\to A{{H}^{2}}=HB.HC$

c)

Vì $\Delta HBA\backsim\Delta HAC\left( cmt \right)$

Nên $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{BA}{AC}$

$\to BH.AC=AH.BA$

$\to \dfrac{1}{3}BH.AC=\dfrac{1}{3}AH.BA$

$\to BM.AC=AN.BA$

$\to \dfrac{BM}{AN}=\dfrac{BA}{AC}$

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta NAC$,ta có:

+  $\widehat{MBA}=\widehat{NAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

+  $\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{BA}{AC}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta MBA\backsim\Delta NAC\left( c.g.c \right)$