Bài 10. Cho tam giác $ABC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ thuộc đoạn $BD$. $AE$ giao $BC$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ song song $BD$ cắt $AB$ tại $G$.
Bài 10. Cho tam giác $ABC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ thuộc đoạn $BD$. $AE$ giao $BC$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ song song $BD$ cắt $AB$ tại $G$. Đường tròn $(BEC)$ cắt $AB$ tại $H$ khác $B$. $HE$ giao $BC$ tại $I$. $GF$ giao $CE$ tại $K$. Chứng minh rằng $IG=IK$.
Lời giải 1 :
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
EB cắt CG tại P. Theo Thales, ta có: $\dfrac{EB}{FG} = \dfrac{AE}{AF} ; \dfrac{FG}{BP} = \dfrac{CF}{BC} \rightarrow \dfrac{EB}{BP} = \dfrac{AE}{AF} . \dfrac{CF}{BC}$
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta EFB$ có ba điểm A, D, C thẳng hàng $(C \in BF, D \in EB, A \in EF)$, ta có: $\frac{AE}{AF} . \frac{CF}{BC} . \frac{DB}{DE} = 1$
$\rightarrow \dfrac{AE}{AF} . \dfrac{CF}{BC} = \dfrac{DE}{DB} = \dfrac{EB}{BP} = \dfrac{DE+EB}{DB+BP} = \dfrac{DB}{DP} \rightarrow DB^2 = DE. DP = DC^2 \rightarrow \Delta DEC \sim \Delta DCP \rightarrow \widehat{DCE} = \widehat{DPC} = \widehat{FGC} \leftrightarrow \widehat{DCB} - \widehat{ECB} = \widehat{BFG} - \widehat{BCG} = \widehat{DBC} - \widehat{BCG}$
$\rightarrow$ CB là tia phân giác $\widehat{DCG}$.
Ta có: $\widehat{GKC} = \widehat{BEC} = 180^o - \widehat{GHC} \rightarrow \widehat{GKC} + \widehat{GHC} = 180^o \rightarrow$ GKCH nội tiếp $\rightarrow \widehat{GHK} = \widehat{GCK}$. Mà $\widehat{BHE} = \widehat{BCE}$ nên $\widehat{IHK} = \widehat{BCG} = \widehat{ICK}$.
Do vậy, tứ giác IHCK nội tiếp
=> 5 điểm G, H, C, K, I cùng thuộc một đường tròn
$\rightarrow \widehat{IKG} = \widehat{IHG} = \widehat{ICG} = \widehat{KCI} = \widehat{IHK} = \widehat{IGK} \rightarrow \Delta IGK$ cân tại I
=> IG = IK (đpcm).
Thảo luận
Lời giải 2 :
EB cắt CG tại P. Theo Thales, ta có: EBFG=AEAF;FGBP=CFBC→EBBP=AEAF.CFBC
Áp dụng định lý Menelaus cho ΔEFB có ba điểm A, D, C thẳng hàng (C∈BF,D∈EB,A∈EF), ta có: AEAF.CFBC.DBDE=1
→AEAF.CFBC=DEDB=EBBP=DE+EBDB+BP=DBDP→DB2=DE.DP=DC2→ΔDEC∼ΔDCP→DCE^=DPC^=FGC^↔DCB^−ECB^=BFG^−BCG^=DBC^−BCG^
→ CB là tia phân giác DCG^.
Ta có: GKC^=BEC^=180o−GHC^→GKC^+GHC^=180o→GKCH nội tiếp →GHK^=GCK^. Mà BHE^=BCE^ nên IHK^=BCG^=ICK^.
Do vậy, tứ giác IHCK nội tiếp
=> 5 điểm G, H, C, K, I cùng thuộc một đường tròn
→IKG^=IHG^=ICG^=KCI^=IHK^=IGK^→ΔIGK cân tại I
=> IG = IK (đpcm).
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK