Đáp án:

$AB = 3 \, cm$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $∆ABC$ vuông cân tại $B$ $(gt)$

$\Rightarrow \widehat{C} = 45^o$

Từ $N$ kẻ $NH\perp BC \, (H\in BC)$

$\Rightarrow ∆NHC$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow NH = HC = \dfrac{NC}{\sqrt2} = 1$

Ta được: $∆BHN\sim ∆BIM \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BI} = \dfrac{HN}{IM}$

$\Rightarrow BI = \dfrac{BH.IM}{HN} = BH.IM$ $(HN= 1)$

$\Rightarrow BI^2 = BH^2.IM^2$

$\Leftrightarrow BI^2 = (BC - HC)^2.(BM^2 - BI^2)$

$\Leftrightarrow BI^2 = (AB - 1)^2.\left(\dfrac{AB^2}{4} - BI^2\right)$ $(*)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{BI^2} = \dfrac{1}{AB^2} +\dfrac{1}{BM^2}$

$\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{AB^2.BM^2}{AB^2 + BM^2} = \dfrac{AB^2.\dfrac{AB^2}{4}}{AB^2 + \dfrac{AB^2}{4}} = \dfrac{AB^2}{5}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\dfrac{AB^2}{5} = (AB-1)^2.\left(\dfrac{AB^2}{4} - \dfrac{AB^2}{5}\right)$

$\Leftrightarrow (AB - 1)^2 = 4$

$\Leftrightarrow AB = 3\, cm$