a, Xét ΔABC có DE // BC

⇒ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{DE}{BC}$  (hệ quả định lí Ta-lét)

hay $\frac{AE}{18}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{DE}{24}$

⇔ $\frac{AE}{18}$ =  $\frac{DE}{24}$ = $\frac{1}{3}$ 

Có

+, $\frac{AE}{18}$ = $\frac{1}{3}$ 

⇔ AE.3 = 18

⇔ AE = 6cm

+, $\frac{DE}{24}$ = $\frac{1}{3}$ 

⇔ DE.3 = 24

⇔ DE = 8cm

b, Xét ΔHAD và ΔCBD ta có:

 $\widehat{HDA}$ = $\widehat{CDB}$ (2 góc đối đỉnh)

 $\widehat{DHA}$ = $\widehat{DCB}$ (2 góc so le trong)

⇒ ΔHAD $\backsim$ ΔCBD (g - g)

⇒ $\frac{AH}{AD}$ = $\frac{BC}{BD}$ 

hay AH.BD = BC.AD

c, Xét ΔAEK và ΔCEB ta có:

 $\widehat{AEK}$ = $\widehat{CEB}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat{AKE}$ = $\widehat{CBE}$ (2 góc so le trong)

⇒ ΔAEK $\backsim$ ΔCEB (g - g)

⇒ $\frac{AE}{AK}$ = $\frac{EC}{BC}$ 

hay AE.BC = AK.EC

d, Từ ΔHAD $\backsim$ ΔCBD (cmt)

⇒ $\frac{AH}{BC}$ = $\frac{AD}{BD}$  (Tính chất tam giác đồng dạng)

mà AD = 4cm; BD = AB - AD = 12 - 4 = 8cm

⇔ $\frac{AH}{BC}$ = $\frac{AD}{BD}$ = $\frac{4}{8}$  = $\frac{1}{2}$ (1)

Lại có từ ΔAEK $\backsim$ ΔCEB (cmt)

⇒ $\frac{AK}{BC}$ = $\frac{AE}{CE}$  (Tính chất tam giác đồng dạng)

mà AE = 6cm; CE = AC - AE = 18 - 6 = 12cm

⇔ $\frac{AK}{BC}$ = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\frac{AK}{BC}$ = $\frac{AH}{BC}$

⇒ AK = AH

Xét ΔADE và ΔABC ta có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AD}{AB}$ (Định lí Ta-lét)

⇒ ΔADE $\backsim$ ΔABC (c - g - c)

⇒ $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ (Tính chất tam giác đồng dạng)

mà $\frac{IB}{IC}$ = $\frac{AB}{AC}$ (Tính chất đường phân giác ở tam giác )

⇒ $\frac{IB}{IC}$ = $\frac{AD}{AE}$ (= $\frac{AB}{AC}$ )

hay IB.AE=IC.AD