Đáp án:

$4046$ nghiệm

Giải thích các bước giải:

+) Ta có:

Phương trình: ${\cos ^3}x - 3{\cos ^2}x + 1 = 0\left( 1 \right)$

Đặt: $t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$. Khi đó: (1) tt: ${t^3} - 3t^2 + 1 = 0\left( 2 \right)$

+) Nhận xét:

Ứng với 1 nghiệm $t \in \left( { - 1;1} \right)$ của phương trình (2) thì trong 1 chu kì tương ứng 2 nghiệm của $x$ của phương trình của (1), và nếu $t=-1$ hoặc $t=1$ thì trogn 1 chu kì tương ứng 1 nghiệm $x$ của phương trình (1).

+) Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - 3^2t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]$

$f'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t = 3t\left( {t - 2} \right)$

Ta có BBT của $f\left( t \right) = {t^3} - 3^2t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]$ ở hình vẽ.

Ta có:

Số nghiệm $t$ của phương trình (2) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $f(t)$ với đường thẳng $y=0$

Suy ra phương trình (2) luôn có 2 nghiệm $t \in \left( { - 1;1} \right)$ phân biệt.

Tương ứng với trong 1 chu kì ta có 4 nghiệm $x$ của phương trình (1).

Lại có:

Từ $\left[ {0;2021\pi } \right]$ có tất cả $1011$ chu kì và nửa chu kì $\left[ {2020\pi ;2021\pi } \right]$

Như vậy có tất cả: $1011.4+1.2=4046$ (nghiệm) của phương trình.

Vậy có tất cả $4046$ nghiệm của phương trình ban đầu.