Đáp án:

Bài 22:

Áp dụng định lý Talet trong tam giác ta có:

a) Xét ΔBEC có: MF // CE

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BE}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow BF = EF
\end{array}$

b)

Xét ΔAFM có: EI // FM

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow AE = EF
\end{array}$

=> AE = EF = BF

=> AE = 1/3 AB

c) 

$\begin{array}{l}
\dfrac{{FM}}{{EC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow EC = 2.FM\\
\dfrac{{EI}}{{FM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow FM = 2EI\\
 \Rightarrow EC = 4EI
\end{array}$

Bài 23:

ta có: M,N là trung điểm của AB;AC
=> MN là đường trung bình

=> MN// BC hay MN// HP

Lại có: NP là đường trung bình

=> NP// AB

=> góc PNM = góc CPN = góc B (so le trong)

Lại có: HM là đường trung tuyến của tg ABH vuông

=> HM = BM = AM

=> tg MBH cân tại M

=> góc B = góc MHB

Mà góc MHB= góc HMN (so le trong)

=> góc B = góc HMN 

=> góc HMN = góc PNM

=> MNPH có HP// MN, góc M = góc N

=> MNPH là hình thang cân.