Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)

$\to AB\perp OB,AC\perp OC\to A,B,O,C$ thuộc đường tròn đường kính AO

b.Ta có :

$AB=AC=\sqrt{AO^2-R^2}, OB=OC\to AO$ là đường trung trực của BC $\to AO\perp BC=H$

Vì $OB\perp AB, BH\perp AO\to OB^2=OH.OA\to OD^2=OH.OB(OB=OD=R)$

$\to \dfrac{OD}{OA}=\dfrac{OH}{OD}\to \Delta OHD\sim\Delta ODA(c.g.c)$

c.Ta có : $OE=OD\to OE^2=OH.OA\to \dfrac{OH}{OE}=\dfrac{OE}{OA}\to \Delta OHE\sim\Delta OEA(c.g.c)$

$\to \widehat{AHD}=\widehat{AEO}$

$\rightarrow\Diamond HDEO$ nội tiếp

$\to \widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{OHE}\to \widehat{DHC}=\widehat{EHC}$

$\to BC$ là phân giác $\widehat{DHE}$

d.Gọi $AE\cap BC=G$

$\to \dfrac{MD}{BE}=\dfrac{AD}{AE}$

      $\dfrac{DN}{BE}=\dfrac{DG}{GE}=\dfrac{HD}{HE}, HG$ là phân giác $\widehat{DHE}$

Mà $AH\perp HG\rightarrow AH$ là tia phân giác ngoài $\Delta HGD\to \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{HD}{HE}$

$\to  \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DG}{GE}\to \dfrac{MD}{BE}=\dfrac{DN}{BE}\to MD=DN\to D$ là trung điểm MN