Đáp án:

Câu 3: $C. \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Câu 4: $B. \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Câu 5: $A. \dfrac{a\sqrt{78}}{13}$

Câu 6: $C. \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Câu 7: $D. \dfrac{a\sqrt{15}}{10}$

Câu 8: $A. \dfrac{a}{2}$

Câu 9: $A. \dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Câu 10: $C. \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$

CÂu 11: $A. \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$

Câu 12: $D. \dfrac{3a^3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Câu 3:

Ta có:

$SA\perp (ABC) \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBA} = 60^o$

Ta được:

$\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB}$

$\Rightarrow SA = AB.\tan\widehat{SBA} = a.\tan60^o = a\sqrt3$

Ta có:

$SA\perp (ABC)$

$AB = AC \, (ΔABC \,\,đều\,)$

$\Rightarrow SB =SC$

$\Rightarrow ΔSBC$ cân tại $S$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

mà $BC\perp SA$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SM$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Mặt khác, $ΔABC$ đều

$MB = MC$

$\Rightarrow AM\perp BC; \, AM = \dfrac{BC\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \dfrac{a\sqrt3.\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{3a^2 + \dfrac{3a^2}{4}}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Câu 4:

Ta có:

$SA\perp (ABC) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Mặt khác:

$SA\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBA} = 45^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SA = AB.\tan\widehat{SBA} = a.\tan45^o = a\\SB = \dfrac{AB}{\cos45^o} = \dfrac{a}{\dfrac{\sqrt2}{2}} = a\sqrt2\end{cases}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$SA.AB = AH.SB = 2S_{SAB}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AB}{SB} = \dfrac{a.a}{a\sqrt2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Câu 5:

Ta có:

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $(gt)$

$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$ (Hai đường chéo của hình vuông)

Gọi $O = AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB =OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta lại có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SC:(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AC.\tan\widehat{SCA} = a\sqrt2.\tan60^o = a\sqrt6$

Bên cạnh đó:

$BD\perp AC$

$BD\perp SA \, (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow BD\perp (SAC)$

mà $(SAO)\subset (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp (SAO)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SO$

$\Rightarrow BD\perp AH$

$\Rightarrow AH \perp (SBD)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AO^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2 + AO^2}} = \dfrac{a\sqrt6.\dfrac{a\sqrt2}{2}}{\sqrt{6a^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a\sqrt{78}}{13}$

Câu 6:

Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBA} = 60^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SA = AB.\tan\widehat{SBA} = a.\tan60^o = a\sqrt3\\SB = \dfrac{AB}{\cos\widehat{SBA}} = \dfrac{a}{\cos60^o} = 2a\end{cases}$

Mặt khác:

$BC\perp AB$

$BC\perp SA$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Ta lại có:

$AD//BC$

$\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) = AH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$SA.AB = AH.SB = 2S_{SAB}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AB}{SB} = \dfrac{a\sqrt3.a}{2a} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Câu 7:

Ta có:

$SA\perp (ABC)\, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABC))} = \widehat{SCA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AC.\tan\widehat{SCA} = a.\tan60^o = a\sqrt3$

Do $SA\perp (ABCD)$

$AB = AC = a$

$\Rightarrow SB = SC$

$\Rightarrow ΔSBC$ cân tại $S$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

mà $BC\perp SA$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SM$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Ta cũng có: $ΔABC$ đều $(gt)$

$MB = MC$

$\Rightarrow AM = \dfrac{BC\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \dfrac{a\sqrt3.\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{3a^2 + \dfrac{3a^2}{4}}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Từ $M$ kẻ $MK\perp SM$

$\Rightarrow MK//AH \, (\perp SM)$

$\Rightarrow MK\perp (SBC)$

$\Rightarrow MK = d(M;(SBC))$

Ta có:

$MK//AH$

$MS = MA$

$\Rightarrow MK = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{a\sqrt{15}}{10}$

Câu 8:

Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

Xét $(SBC)$ và $(ABCD)$ ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD) = BC\\SB\subset (SBC)\\SB\perp BC \, (cmt)\\AB\subset (ABCD)\\AB\perp BC\end{cases} \Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SBA} = 30^o$

$\Rightarrow SA = AB.\tan\widehat{SBA} = a.\tan30^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta có:

$AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))$

Ta lại có:

$CD\perp AD$

$CD\perp SA$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SD$

$\Rightarrow CD\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2 + AD^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{3}.a}{\sqrt{\dfrac{a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a}{2}$

Câu 9:

Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SD$

$\Rightarrow CD\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SCD))$

Gọi $OK = d(O;(SCD))$

$\Rightarrow OK//AH \, (\perp (SCD))$

mà $AO = OC$

$\Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}AH$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow AH = 2OK = 2.\dfrac{a\sqrt3}{4} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH.AD}{\sqrt{AD^2 -AH^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}.a\sqrt3}{\sqrt{3a^2 - \dfrac{3a^2}{4}}} = a$

Ta được:

$V_{SABC} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}AB.AD.SA = \dfrac{1}{6}.a.a\sqrt3.a = \dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Câu 10:

Ta có:

$SA = SB = SC = SD \, (gt)$

$\Rightarrow ΔSBC$ cân tại $S$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

mà $BC\perp SO \, (SO\perp (ABCD))$

$\Rightarrow BC \perp (SOM)$

Từ $O$ kẻ $OH\perp SM$

$\Rightarrow BC\perp OH$

$\Rightarrow OH\perp (SBC)$

$\Rightarrow OH = d(O;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{6}$

Theo đề ta có:

$SB = SC = BC$

$\Rightarrow ΔSBC$ đều

Lại có: $MB =MC$

$\Rightarrow SM = \dfrac{BC\sqrt3}{2}$

Mặt khác: $AC\perp BD$ (Hai đường chéo của hình vuông)

$AC\cap BD = O$

$\Rightarrow ΔOBC$ vuông tại $O$

mà $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}BC$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$\Rightarrow SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3BC^2}{4} - \dfrac{BC^2}{4} = \dfrac{BC^2}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OM^2}$

$\Leftrightarrow OH^2 = \dfrac{SO^2.OM^2}{SO^2 + OM^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{6} = \dfrac{\dfrac{BC^2}{2}.\dfrac{BC^2}{4}}{\dfrac{BC^2}{2} + \dfrac{BC^2}{4}} = \dfrac{BC^2}{6}$

$\Rightarrow BC = a$

$\Rightarrow SO = \sqrt{\dfrac{BC^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}.SO.BC^2 = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt2}{2}.a^2 = \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$

Câu 11:

Ta có: $ΔSAB$ đều $(gt)$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow SH\perp AB; \, SH = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = a\sqrt3$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\subset (SAB)\\SH\perp AB \, (cmt)\end{cases} \Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow HM\perp CD; \, HM = AD = 2a$

mà $CD\perp SH$

$\Rightarrow CD\perp (SHM)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp SM$

$\Rightarrow CD\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SCD)$

$\Rightarrow HK = d(H:(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HM^2}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}} = \dfrac{a\sqrt3.2a}{\sqrt{3a^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$

Mặt khác:

$AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(A;(SCD)) = d(B;(SCD)) = d(H;(SCD)) = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$

Câu 12:

Ta có: $ΔSAB$ đều $(gt)$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow SH\perp AB; \, SH = \dfrac{AB\sqrt3}{2}$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\subset (SAB)\\SH\perp AB \, (cmt)\end{cases} \Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow HM\perp CD; \, HM = AD = AB$

mà $CD\perp SH$

$\Rightarrow CD\perp (SHM)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp SM$

$\Rightarrow CD\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SCD)$

$\Rightarrow HK = d(H:(SCD))$

Mặt khác:

$AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(A;(SCD)) = d(B;(SCD)) = d(H;(SCD)) = \dfrac{3a\sqrt7}{7}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HM^2}$

$\Leftrightarrow HK^2 = \dfrac{SH^2.HM^2}{SH^2 + HM^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{9a^2}{7} = \dfrac{\dfrac{3AB^2}{4}.AB^2}{\dfrac{3AB^2}{4} + AB^2} = \dfrac{3AB^2}{7}$

$\Rightarrow AB = a\sqrt3$

$\Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}AB^2.SH = \dfrac{1}{3}.3a^2.\dfrac{3a}{2} = \dfrac{3a^3}{2}$