Giải thích các bước giải:

Bài `5`:

a) Mọi số nhân với \(1\) đều bằng chính nó;

KH:  \(∀x ∈\mathbb R: x.1=x\);

b) Có một số cộng với chính nó bằng \(0\);

KH: \(∃ x ∈\mathbb R: x+x=0\);

c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng \(0\).

\(∀x∈ \mathbb R: x+(-x)=0\).

Bài `6`:

a)  \(∀x ∈ \mathbb R: x^2>0\) phát biểu là: "Bình phương của mọi số thực là số dương".

Sai vì \(0∈\mathbb R \) mà \(0^2=0\).

Sửa cho đúng: \(∀x ∈ \mathbb R: x^2 \ge 0\)

b) \(∃ n ∈\mathbb N: n^2=n\) phát biểu là: "Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó".

Đúng vì \(1 ∈ \mathbb N, 1^2=1\) hoặc \(0 ∈ \mathbb N, 0^2=0\).

c) \( ∀n ∈ \mathbb N: n ≤ 2n \) phát biểu là: "Mọi số tự nhiên thì luôn nhỏ hơn hoặc bằng hai lần số ấy" hoặc "Một số tự nhiên thì luôn không lớn hơn hai lần số ấy".

Mệnh đề đúng.

d) \(∃ x∈\mathbb R: x<\dfrac{1}{x}\) phát biểu là: "Tồn tại số thực \(x\) nhỏ hơn nghịch đảo của nó".

Mệnh đề đúng.

Chẳng hạn \(0,5 ∈ \mathbb R\) và \(0,5 <\dfrac{1}{0,5}=2\).

Bài `7`:

a) P: \(∀n ∈ \mathbb N\): \(n\) chia hết cho \(n\)

\(\overline P \): \(\exists n \in \mathbb N:n\) không chia hết cho \(n\).

Mệnh đề này đúng vì tồn tại số \(n=0 ∈ \mathbb N\) mà \(0\) không chia được cho \(0\)

b) P: \(∃x ∈ \mathbb Q\): \(x^2=2\)

\(\overline P \):\(\forall x \in Q:{x^2} \ne 2\)

Phát biểu bằng lời: "Bình phương của mọi số hữu tỉ đều là một số khác \(2\)".

Mệnh đề này đúng vì chỉ có hai số thực có bình phương bằng 2 đó là \( \pm \sqrt 2 \). Tuy nhiên hai số này lại là số vô tỉ chứ không phải số hữu tỉ.

Vậy mọi số hữu tỉ thì đều có bình phương khác 2.

c) P: \(∀x ∈ \mathbb R\): \(x< x+1\)

\(\overline P \):\( ∃x ∈ \mathbb R: x≥x+1\)

Phát biểu bằng lời: "Tồn tại số thực \(x\) không nhỏ hơn số ấy cộng với \(1\)".

Mệnh đề này sai vì x+1 luôn lớn hơn x với mọi x.

d) P: \(∃x ∈ \mathbb R: 3x=x^2+1\)

\(\overline P \): \(  ∀x ∈\mathbb R: 3x ≠ x^2+1\)

Phát biểu bằng lời: "Tổng của \(1\) với bình phương của số thực \(x\) luôn luôn không bằng \(3\) lần số \(x\)"

Đây là mệnh đề sai vì:

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}
3x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\\
\Delta = {3^2} - 4.1 = 5 > 0\\
\Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)

Do đó với \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}2{}\) ta có:

\(3. \left (\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \right )\)=\(\left (\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \right )^{2}+1\).