Giải thích các bước giải:

 1) Tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$ (1)

Tam giác AHB vuông tại H

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BAH}=90^\circ$ (2)

Tam giác AHC vuông tại H

$\Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{CAH}=90^\circ$ (3)

Từ (1), (2), (3)

$\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ và $\widehat{ACH}=\widehat{BAH}$

2) Tứ giác ADHE có

$AD \perp AC$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$HE \perp AC$ (gt)

$\Rightarrow AD//HE$

Suy ra ADHE là hình thang

3) Tam giác AHC có $KA=KH$ và $NH=NC$

$\Rightarrow$ NK là đường trung bình $\Delta AHC$

$\Rightarrow NK//AC$

$\Rightarrow$ AKNC là hình thang

Chứng minh tương tự như trên $\Rightarrow MK//AB$ $\Rightarrow$ AKMB là hình thang

4) ADHE có $\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{DHE}=90^\circ$

Tam giác DHE vuông tại H có trung tuyến HK

$\Rightarrow KH=KE$

$\Rightarrow$ Tam giác KHE cân tại K

$\Rightarrow \widehat{KHE}=\widehat{KEH}$ (1)

Tam giác EHC vuông tại E có trung tuyến EN

$\Rightarrow NE=NH$

$\Rightarrow$ Tam giác NEH cân tại N

$\Rightarrow \widehat{NEH}=\widehat{NHE}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{KEN}=\widehat{KHN}=90^\circ$

$\Rightarrow DE \perp EN$

Chứng minh tương tự $DE \perp DM$

$\Rightarrow$ DMNE là hình thang

5) Gọi I là giao điểm DH và MK, J là giao điểm KN và EH

Ta có:

$DK=KH$ (Tam giác DHE vuông tại H có trung tuyến HK)

$DM=MH$ (Tam giác DBH vuông tại D có trung tuyến DM)

$\Rightarrow$ KH là đường trung trực DH

$\Rightarrow KM \perp DH$

$\Rightarrow \widehat{KIH}=90^\circ$

Chứng minh tương tự: $\widehat{KJH}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{KIH}=\widehat{KJH}=\widehat{IHJ}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{MKN}=90^\circ$

$\Rightarrow MN^2=MK^2+KN^2$ (Theo định lý Pitago)