Câu 2d: TXĐ: $\dfrac{1}{2}≤x≤3$

Ta có:

$y'=\dfrac{x}{\sqrt[]{2x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt[]{3-x}}$

Vì $x∈\Bigg[\dfrac{1}{2};3\Bigg]$ nên $y'>0$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\Bigg[\dfrac{1}{2};3\Bigg]$.

Câu 3d:

$y'=\dfrac{x^2-2mx+2m^2+1}{(x-m)^2}$

Để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì 

$y'≥0$

$↔ x^2-2mx+2m^2+1≥0$

$→ m^2-2m^2-1≤0$

$↔ m^2≥-1$ (Luôn đúng)

Vậy $∀m∈R$ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 4:

$y'=(m-1)x^2+2mx+3m-2$

a) Để hàm số nghịch biến trên $R$ thì $y'≤0$, $∀x∈R$

+) TH1: $m=1$

$y'=2x+1$ (không thỏa mãn $y'≤0$, $∀x∈R$)

+) TH2: $m\neq1$

Ycbt $↔ m-1<0$ và $m^2-(m-1)(3m-2)≤0$

$↔ m<1$ và $-2m^2+5m-2≤0$

$↔ m<1$ và $\left[ \begin{array}{l}m≤\dfrac{1}{2}\\m≥2\end{array} \right.$

$→ m≤\dfrac{1}{2}$

Vậy $m≤\dfrac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Để hàm số đồng biến trên $R$ thì $y'≥0$, $∀x∈R$

+) TH1: $m=1$

$y'=2x+1$ (không thỏa mãn $y'≥0$, $∀x∈R$)

+) TH2: $m\neq1$

Ycbt $↔ m-1>0$ và $m^2-(m-1)(3m-2)≤0$

$↔ m>1$ và $-2m^2+5m-2≤0$

$↔ m>1$ và $\left[ \begin{array}{l}m≤\dfrac{1}{2}\\m≥2\end{array} \right.$

$→ m≥2$

Vậy $m≥2$ là giá trị cần tìm.

Câu 5:

Ta có:

$y'=\dfrac{x^2+2x-m+1}{(x+1)^2}$

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì 

$y'≥0$

$↔ x^2+2x-m+1≥0$

$→ 1+m-1≤0$

$↔ m≤0$

Vậy $m≤0$ là giá trị cần tìm.