Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $H$

Hình chiếu của $B$ lên $(ABCD)$ là $B$

$→$ Góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBH}=45^o$

Ta có:

$HB=\sqrt[]{AH^2+AB^2}$

$=\sqrt[]{a^2+a^2}=a\sqrt[]{2}$

Vì $ΔSHB$ vuông cân nên $SH=HB=a\sqrt[]{2}$

Gọi $E$ là trung điểm $BC$, ta có:

$d(SD,BH)=d(BH,(SDE))=d(H,(SDE))$

Kẻ $HK⊥DE$, $HF⊥SK → d(H,(SDE))=HF$

Xét $ΔEHD$ vuông có:

$HK=\dfrac{HD.HE}{\sqrt[]{HD^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}$

$→ HF=\dfrac{SH.HK}{\sqrt[]{SH^2+HK^2}}=\dfrac{a\sqrt[]{10}}{5}$

Vậy khoảng cách giữa $SD$ và $BH$ là $\dfrac{a\sqrt[]{10}}{5}$.

Đáp án:

$d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow ABMH$ là hình vuông

$\Rightarrow AM=BH = AB\sqrt2 = a\sqrt2$

Ta có:

$SH\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBH} = 45^o$

mà $\tan\widehat{SBH} = \dfrac{SH}{BH}$

nên $SH = BH.\tan45^o = BH = a\sqrt2$

Mặt khác ta cũng có: $MCDH$ là hình vuông

$\Rightarrow MD = CH = CD\sqrt2 = a\sqrt2$

Gọi $O = CH\cap MD$

$\Rightarrow OH = OC= OD = OM = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta có:

$BH//DM$

$\Rightarrow BH//(SDM)$

$\Rightarrow d(BH;SD) = d(BH;(SDM)) = d(H;(SDM))$

Do $SH\perp (ABCD)$

$HD=HM = a$

$\Rightarrow SM = SD$

$\Rightarrow SO\perp DM$

mà $HO\perp DM$

$\Rightarrow DM\perp (SHO)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp SO$

$\Rightarrow DM\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SDM)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SDM))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HO^2}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{SH.HO}{\sqrt{SH^2 + HO^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

Vậy $d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$