Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $BN,CM$ là 2 trung tuyến của tam giác $ABC$ mà $BN\cap CM =G$

$\to G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$\to AG$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ mà $AG\cap BC=I$

$\to I$ là trung điểm của $BC$ và $IG=\dfrac{1}{2}AG$

b) Xét tam giác $AEM$ và tam giác $BCM$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AM = BM\\
\widehat {AME} = \widehat {BMC}\left( {dd} \right)\\
ME = MC
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AEM = \Delta BCM\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow AE = BC;\widehat {AEM} = \widehat {BCM}\\
 \Rightarrow AE = BC;AE//BC
\end{array}$

c)Gọi $H$ là điểm nằm trên tia đối của tia $MN$ sao cho $MH=MN$

Xét tam giác $BMH$ và tam giác $AMN$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BM = AM\\
\widehat {BMH} = \widehat {AMN}\left( {dd} \right)\\
MH = MN
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BMH = \Delta AMN\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow BH = AN;\widehat {MBH} = \widehat {MAN}\\
 \Rightarrow BH = NC;BH//AC\\
 \Rightarrow BH = NC;\widehat {NBH} = \widehat {BNC}
\end{array}$

Xét tam giác $NBH$ và tam giác $BNC$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BH = NC\\
\widehat {NBH} = \widehat {BNC}\\
BNchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta NBH = \Delta BNC\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow NH = BC\\
 \Rightarrow 2MN = BC\\
 \Rightarrow MN = \dfrac{{BC}}{2}
\end{array}$

d) Ta có:

Chứng minh tương tự câu b ta có: $\Delta ANK = \Delta CNB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AK//BC$

Mà từ câu a ta có: $AE//BC$

Như vậy: Qua điểm $A$ có 2 đường cùng song song với $BC$

$\to E,A,K$ thẳng hàng.