Đáp án:

a) ΔABC vuông tại A có AD là đường trugn tuyến

=> AD = CD = BD

=> ΔACD, ΔABD cân tại D

Xét ΔADN và ΔCAB có:

+ góc ADN = góc CAB = 90 độ

+ góc DAN = góc ACB (cmt)

=> ΔADN ~ ΔCAB (g-g)

=> góc DNA = góc ABC

Xét ΔABC và ΔANM có:

+ góc A chung

+ góc ABC = góc ANM (cmt)

=> ΔABC ~ ΔANM (g-g)

b) ΔAMN vuông tại A có AD là đường cao

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow DM.DN = A{D^2}\\
 \Rightarrow DM.DN = {\left( {\dfrac{1}{2}BC} \right)^2}\\
 \Rightarrow DM.DN = \dfrac{1}{4}B{C^2}\\
 \Rightarrow B{C^2} = 4DM.DN
\end{array}$

c) $\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMN}}}} = {\left( {\dfrac{{AH}}{{AD}}} \right)^2}$

(Do AH và AD là 2 đường cao của 2 tam giác)

Xét ΔAHD và ΔADK có: 

+ góc HAD chung

+ góc AHD = góc ADK = 90 độ

=> ΔAHD ~ ΔADK (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AK}}\\
 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{AH}}{{AD}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{AD}}{{AK}}} \right)^2}\\
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMN}}}} = {\left( {\dfrac{{AD}}{{AK}}} \right)^2}\\
d)B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\
 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow BD = CD = AD = 5cm\\
 + A{B^2} = BH.BC\\
 \Rightarrow BH = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\\
 \Rightarrow DH = BD - BH = 5 - 3,6 = 1,4\left( {cm} \right)\\
 + AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = 4,8\left( {cm} \right)\\
Trong:\Delta ADK:\\
H{D^2} = HK.AH\\
 \Rightarrow HK = \dfrac{{1,{4^2}}}{{4,8}} = 0,408\left( {cm} \right)
\end{array}$