Xét $∆ABS$ có:

$FA = FB$

$KB = KS$

$\Rightarrow KF$ là đường trung bình

$\Rightarrow KF//AS; \, JF = \dfrac{1}{2}AS$

Chứng minh tương tự, ta được:

$EL$ là đường trung bình trong $∆ACS$

$\Rightarrow EL//AS; \, EL= \dfrac{1}{2}AS$

Do đó $EFKL$ là hình bình hành

Ta lại có: $KL$ là đường trung bình của $∆BCS$

$\Rightarrow KL//BC$

mà $AS\perp BC$

$\Rightarrow KF\perp KL$

$\Rightarrow EFKL$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow E,F,K,L$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $FL$ và $EK$ $(1)$

Chứng minh tương tự dựa vào các đường trung bình, ta được:

$DFJL$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow D,F,J,L$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của $DJ$ và $FL$ $(2)$

$DEJK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow D,E,J,K$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $DJ$ và $EK$ $(3)$

Ta cũng có $\widehat{FIL} = 90^o$ $(CI\perp AB)$

$\Rightarrow F, I, L$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm $FL$ $(4)$

$\widehat{KHE} = 90^o$ $(BH\perp AC)$

$\Rightarrow K, H, E$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm $EK$ $(5)$

Từ $(1)(2)(3)(4)(5) \Rightarrow D,E,F,G,H,I,J,K,L$ cùng thuộc một đường tròn

Đường tròn đi qua 9 điểm trên được gọi là đường tròn $Euler$