Ta có $\Delta CEO$ vuông tại $E$ với đường cao $EI$

Nên $O{{E}^{2}}=OI.OC$ (hệ thức lượng)

Với $H$ là trung điểm dây $MN\to OH\bot MN$

Ta có:

$CE=CF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OE=OF=R$

Nên $OC$ là đường trung trực của $EF$

Do đó $OC\bot EF$ tại $I$

Xét $\Delta OHC$ và $\Delta OIK$, ta có:

+  $\widehat{KOC}$ là góc chung

+  $\widehat{OHC}=\widehat{OIK}=90{}^\circ $

Nên $\Delta OHC\backsim\Delta OIK\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OC}{OK}$

$\Rightarrow OI.OC=OH.OK$

$\Rightarrow O{{E}^{2}}=OH.OK$

$\Rightarrow {{R}^{2}}=OH.OK$

$\Rightarrow O{{M}^{2}}=O{{N}^{2}}=OH.OK$

Với $O{{M}^{2}}=OH.OK$

Chứng minh được $\Delta OMK\backsim\Delta OHM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{OMK}=\widehat{OHM}=90{}^\circ $

$\Rightarrow OM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Với $O{{N}^{2}}=OH.OK$

Chứng minh được $\Delta ONK\backsim\Delta OHN\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{ONK}=\widehat{OHN}=90{}^\circ $

$\Rightarrow ON$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$