Đáp án:

$a,m = 2$

$b,m = \frac{5\sqrt{2}+6}{2}$

$c,m > \frac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

$a,$Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;5)$

$→x = 2 , y = 5$

Thay vào hàm số ta có :

5 = (2m - 1).2+ m - 3

$→ 5 = 4m - 2 + m - 3$

$→ 5 = 5m - 5 $

$→ 5m = 10$

$→ m = 2$

Vậy $m = 2$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;5)$

$b,$ Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = \sqrt{2}-1$

$→ x = \sqrt{2}-1 ; y = 0$

Thay vào hàm số ta có :

$0 = (2m - 1)(\sqrt{2}-1)+m-3$

$→ 0 = 2\sqrt{2}m - 2m - \sqrt{2}+ 1+ m - 3$

$→ 0 = (2\sqrt{2}- 2+1)m -\sqrt{2}+1-3$

$→ 0 = (2\sqrt{2} - 1)m- \sqrt{2} -2$

$→ (2\sqrt{2}-1)m = 2 + \sqrt{2}$

$→ m = \frac{2 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} -1}$

$→ m = \frac{(2+\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1)}{(2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+1)}$

$→ m = \frac{4\sqrt{2}+2+4+\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})²-1}$

$→ m = \frac{5\sqrt{2}+6}{7}$

Vậy $m = \frac{5\sqrt{2}+6}{2}$ thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hoành độ $x = \sqrt{2} - 1$

$c,$ Để hàm số đồng biến

$→ 2m - 1 > 0$

$→ 2m > 1 $

$→ m > \frac{1}{2}$

Vậy $ m >\frac{1}{2}$ thì hàm số đồng biến

a) Để hso đi qua $(2,5)$ thì

$5 = (2m-1).2 + m - 3$

$<-> 5 = 4m-2 + m - 3$

$<-> 10 = 5m$

$<-> m = 2$

Vậy $m = 2$.

b) Do đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = \sqrt{2} - 1$ nên đồ thị đi qua điểm $A(\sqrt{2} - 1, 0)$ hay

$0 = (2m-1)(\sqrt{2} - 1) + m - 3$

$<-> 2(\sqrt{2} - 1)m - \sqrt{2} + 1 + m - 3 = 0$

$<-> 2(\sqrt{2} - 2)m = \sqrt{2}$

$<-> m = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 4}$

c) Để hso đồng biến thì

$2m - 1 > 0$

$<-> m > \dfrac{1}{2}$.