Trước hết ta chứng minh một số có dạng `a^4` không chia hết cho `5` chỉ dư `1`

Xét `a≡1 (mod 5) => a^4≡1 (mod 5)`

Xét `a≡2 (mod 5) => a^4≡16≡1 (mod 5)`

Xét `a≡3 (mod 5) => a^4≡81≡1 (mod 5)`

Xét `a≡4 (mod 5) => a^4≡256≡1 (mod 5)`

Vậy `a^4` chia cho 5 chỉ dư `1` ( điều phải chứng minh )

Trước hết ta chứng minh một số có dạng `a^4` chia hết cho `4` chỉ dư `0;1`

Xét `a≡0 (mod 4) => a^4≡0 (mod 4)`

Xét `a≡1 (mod 4) => a^4≡1 (mod 4)`

Xét `a≡2 (mod 4) => a^4≡0 (mod 4)`

Xét `a≡3 (mod 4) => a^4≡1 (mod 4)`

Quay trở lại bài toán ta có :

Xét `p^4≡1 (mod 5) => p^4+2019q^4 ≡ 1+4.1=5≡0 (mod 5)`  (1)

Xét `p^4≡0 (mod 4) ⇒ p^4+2019q^4 ≡ 0 (mod 4)`   (2)

Xét `p^4≡1 (mod 4) => p^4+2019q^4 ≡ 1+3=4≡0 (mod 4)`   (3)

Từ `(1) , (2)` và `(3)` ta suy ra `p^4+2019q^4` chia hết cho `5` và `4` mà `ƯCLN(5;4)=1 => p^4+2019q^4` chia hết cho `20` ( điều phải chứng minh )

Vì p, q là hai số nguyên tố >5

⇒p,q là hai số lẻ

⇒p,q chia hết cho 2

⇒$p{4}$, $q{4}$ chia hết cho 4

⇒$p{4}$ + 2019$q{4}$ chia hết cho 4(1)

Mặt khác : 

* Xét 5k , 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4 

⇒$p{4}$ +2019$q{4}$ chia hết cho 5(2) 

Mà (5;4)=1(3)

Từ (1),(2),(3)⇒$p{4}$ +2019$q{4}$ chia hết cho 20(đpcm).