a) $BM$ là đường trung tuyến

$→AM=CM$

$CN$ là trung tuyến 

$→AN=BN$

mà $AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$→MC=NB$

Xét $ΔBNC$ và $ΔCMB$:

$BC:chung$

$\widehat{B}=\widehat{C}$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$MV=NB(cmt)$

$→ΔBNC=ΔCMB(c-g-c)$

b) $ΔBNC=ΔCMB$

$→BM=CN$

$BM∩CN≡K$

mà $BM,CN$ là hai đường trung tuyến

$→K$ là trọng tâm

$→CK=\dfrac{2}{3}CN$

$→BK=\dfrac{2}{3}BM$

mà $BM=CN$

$→CK=BK$

$→ΔBKC$ cân tại $K$

c) $K$ là trọng tâm

$→NK=\dfrac{1}{2}KC→2NK=KC$

$→KM=\dfrac{1}{2}KB→2KM=KB$

mà $KC=KB$

$→2NK=2KM$

$→2NK+2KM=2KM+2KM=4KM$

Xét $ΔBKC$: $BC<KB+KC$ (BĐTΔ)

mà $2KM=KB, 2NK=KC$

$→BC<2KM+2KN$

mà $2KM+2KN=4KM$

$→BC<4KM$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)$ΔABC$ cân tại $A$

$⇒AB=AC ; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $BM ; CN$ là hai trung tuyến

$⇒AN=BN=AM=MC$

Xét $2$ tam giác : $ΔBNC$ và $ΔCMB$ có:

$+)BN=CM$ (Chứng minh trên)

$+)\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (Chứng minh trên)

$+)BC:$ Cạnh chung

$⇒ΔBNC=ΔCMB (c.g.c)$

b)Theo câu a) $ΔBNC=ΔCMB$

$⇒\widehat{BCN}=\widehat{CBM}$ (Hai góc tương ứng)

$⇒ΔBKC$ cân tại $K$

c)$ΔKBC$ cân tại $K$

$⇒BK=CK (1)$

Theo tính chất đường trung tuyến , ta có:

$+)KM=\dfrac{1}{2}BK$

$⇒BK=2KM(2)$

$+)KN=\dfrac{1}{2}CK$

$⇒CK=2KN(3)$

Từ $(1) ; (2)$ và $(3) ⇒ 2KM=2KN$

Áp dụng bất đẳng thức vào $ΔBKC$ có:

$BC<BK+KC$

$⇔BC<2KM+2KN$

$⇔BC<2KM+2KM$

$⇒BC<4KM (đpcm)$