Vì `AB=AC=10` cm `=>` tam giác ABC là tam giác cân và cân tại A (t/c của tam giác cân)

a) Xét `ΔABH` và `ΔACH` có:

`AB=AC` (t/c tam giác cân)

`AH` là cạnh chung

`\hat{AHB}=\hat{AHC}=90°`

`=> ΔABH=ΔACH` (c-g-c)

`=> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)

`=>` H là trung điểm của BC

b) Theo câu a `ΔABH=ΔACH` nên:

`HB=HC=6` cm  (cmt)

Theo định lí py-ta-go trong tam giác `AHB` vuông tại `H` ta có:

`=>AB^2=AH^2+HB^2`

`=> 10^2=AH^2+6^2`

`=> (AH)^2=10^2-6^2`

`=> (AH)^2=100-38`

`=> (AH)^2=64`

`=> AH=\sqrt{62}`

`=> AH=8`  cm

c) Theo câu a `ΔABH` và `ΔACH` 

`=> \hat{BAH}=\hat{CAH}`

Xét  `ΔAIH` và `ΔAKH` có:

AH: cạnh chung

`\hat{BAH}=\hat{CAH}` (cmt)

`\hat{HIA}=\hat{HKA}=90` độ

`=> ΔABH=ΔACH` (CH-GN)

`=> AI=AK` (hai cạnh tương ứng)

`=> ΔAIK` cân tại A

d) Theo câu c `ΔAIH=ΔAKH`

`=> IH=HK` (2 cạnh tương ứng)  

`=> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔBHE` và `ΔCHK` có:

`=>` H là góc chung

`=> HB=HC` (cmt)

`=>  \hat{BHE}=\hat{CHK}`  (đ.đ)

`=> ΔBHE=ΔCHK` (g-c-g)`

`=> HE=HK` (2 cạnh tương ứng)

Vì `IH=HK` (cmt)

`=> IH=HK=HE`

`=> IH=1/2IK`

`=> ΔEIK` vuông tại I

`=> IK⊥IE`  (đpcm)