Chọn gốc tọa độ tại ngã tư, chiều dương ngược chiều chuyển động mỗi xe

Ta có:

$x_{A}=4-50t$

$x_{B}=6-40t$

Khoảng cách giữa hai xe sau thời gian $t$ là:

$s=\sqrt{x_{A}²+x_{B}²}=\sqrt{(4-50t)²+(6-40t)²}=\sqrt{16-400t+2500t²+36-480t+1600t²}$

$=\sqrt{52-880t+4100t²}$

$=\sqrt{(10.\sqrt{41}.t)²-2.(10.\sqrt{41}).\dfrac{44.\sqrt{41}}{41}.t+\dfrac{1936}{41}+\dfrac{196}{41}}$

$=\sqrt{(10.\sqrt{41}.t-\dfrac{44.\sqrt{41}}{41})²+\dfrac{196}{41}}≥\sqrt{\dfrac{196}{41}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $10.\sqrt{41}.t-\dfrac{44.\sqrt{41}}{41}=0$

$⇔t=\dfrac{22}{205}h$

Vậy sau thời gian $t=\dfrac{22}{205}h$, khoang cách giữa hai xe ngắn nhất và bằng $\sqrt{\dfrac{196}{41}}m$

Đáp án:

t = 6,44 phút

d = 2,2km 

Giải thích các bước giải:

Gọi 2 trục chuyển động của 2 vật là Ox và Oy tương ứng với A và B.

Ta có phương trình chuyển động của hai xe là:

$\begin{align}
  & x={{x}_{o}}-{{v}_{A}}t=4-50t \\ 
 & y={{y}_{o}}-{{v}_{B}}t=6-40t \\ 
\end{align}$

Gọi d là khoảng cách của 2 xe

Khoảng cách của 2 xe là:

$\begin{align}
  & {{d}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 4-50t \right)}^{2}}+{{\left( 6-40t \right)}^{2}}=4100{{t}^{2}}-880t+52 \\ 
 & \Rightarrow d=\sqrt{4100{{t}^{2}}-880t+52}=\sqrt{4100{{\left( t-\frac{22}{205} \right)}^{2}}+\frac{196}{41}} \\ 
\end{align}$

Khoảng cách giữa 2 xe ngắn nhất khi:

${{\left( t-\frac{22}{205} \right)}^{2}}=0\Rightarrow t=\frac{22}{205}h=0,1073h=6,44p$

Khoảng cách khi đó là:

$d=\sqrt{0+\frac{196}{41}}\approx 2,2km$