Với điểm $O$ tùy ý, theo quy tắc trung điểm, ta có:

$\vec{OA}+\vec{OC}=2\vec{ON}$

$\vec{OA}+\vec{OB}=2\vec{OM}$

$\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OP}$

Cộng theo từng vế của các biểu thức trên, ta được:

$2\vec{OA}+2\vec{OB}+2\vec{OC}=2\vec{ON}+2\vec{OM}+2\vec{OP}$

$↔ \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{ON}+\vec{OM}+\vec{OP}$ (điều phải chứng minh).

Áp dụng công thức cộng vecto, ta có:

$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$ (1)

$\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{ON}$ (2)

$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{AP}$ (3)

Từ (1) và (2) và (3) ta có:

$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{OP}$

$⇔ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}$ (đpcm)