Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB\cdot HC=144$

$\to AH=12$

$\to\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac34$

b.Ta có $HD\perp AB,HE\perp AC,  AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

Ta có: $\widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90^o,\widehat{DAH}=\widehat{BAH}$

$\to \Delta ADH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AD\cdot AB$

Tương tự $AH^2=AE\cdot AC$

$\to AD\cdot AB=AE\cdot AC$

c.Ta có: $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to\widehat{FDB}=\widehat{ADE}=\widehat{DAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ECF}$

Mà $\widehat{DFB}=\widehat{EFC}$

$\to \Delta FBD\sim\Delta FEC(g.g)$

$\to \dfrac{FD}{FC}=\dfrac{BD}{EC}$

Ta có: $AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=15$

          $AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=20$

Lại có $DH//AC(\perp AB)\to \dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac9{25}$

$\to BD=\dfrac9{25}AB=\dfrac{27}{5}$

$\to AD=AB-BD=\dfrac{48}{5}\to HE=AD=\dfrac{48}{5}\to EC=\sqrt{CH^2-HE^2}=\dfrac{64}{5}$

$\to \dfrac{BD}{CE}=\dfrac{27}{64}$

$\to \dfrac{FD}{FC}=\dfrac{27}{64}$

d.Ta có: $DM\perp DE\to\widehat{MDO}=\widehat{MHO}=90^o$ 

Mà $HD\perp AB,HE\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to OD=OH=OE=OA$

$\to DM^2=OM^2-OD^2=OM^2-OH^2=MH^2$

$\to DM=MH, OD=OM$

$\to OM$ là trung trực của $DH\to OM\perp DH\to OM//AB$

$\to OM\perp AC$ vì $AB\perp AC$

Mà $AH\perp BC\to AH\perp CM$

$\to O$ là trực tâm $\Delta AMC\to CO\perp AM$