Giải thích các bước giải:

Sửa đề: $H$ nằm trên tia đối của tia $KB$

 a) Ta có:

$K$ là trung điểm của $AI$ và $BH$; $AI\cap BH=K$

$\to AHIB$ là hình bình hành.

$\to AH//BI$

b) Ta có:

$AK\bot BH=K$ và $K$ là trung điểm của $BH$

$\to AK$ là trung trực của $BH$.

Khi đó:

$AB=AH; CB=CH$(tính chất đường trung trực) 

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB = AH\\
CB = CH\\
ACchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {AHC} = \widehat {ABC} = {90^0}
\end{array}$

Vậy $\widehat {AHC} = {90^0}$

c) Ta có:

$AH//BI; CH\bot AH(\widehat {AHC} = {90^0})\to CH \bot BI$

Mà $AK\bot BH\to IK\bot BH$ và $HC\cap IK=C$

$\to C$ là trực tâm tam giác $BHI$

$\to HC\bot BI=G$

Xét tam giác $BHI$ có: $\widehat {BHI} = {90^0}$ và $K$ là trung điểm của $BH$

$\to KG=KH=KB$(tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

$\to \Delta HKG$ cân tại $K$.

d) Ta có:

$\Delta HKG$ cân tại $K$ $ \Rightarrow \widehat {KGH} = \widehat {KHG}\left( 1 \right)$

Lại có:

Xét tam giác $CGI$ có: $\widehat {CGI} = {90^0}$ và $M$ là trung điểm của $CI$

$\to MG=MI=MC$

$\to \Delta MCG$ cân ở $M$ $ \Rightarrow \widehat {MGC} = \widehat {MCG}\left( 2 \right)$

Khi đó từ $(1),(2)$ có:

$\begin{array}{l}
\widehat {KGH} + \widehat {MGC} = \widehat {KHG} + \widehat {MCG}\\
 \Rightarrow \widehat {MGK} = \widehat {KHC} + \widehat {KCH}\\
 \Rightarrow \widehat {MGK} = {90^0}\\
 \Rightarrow MG \bot GK
\end{array}$

e) Ta có:

$C$ là trực tâm tam giác $BHI$

$\to BC\bot HI$

Vậy ta có đpcm.

@Khánh.__.

 a) Ta có:

K là trung điểm của AI và BH

AI∩BH=KA

`=>`AHIB là hình bình hành

`=>` AH//BI

b) Ta có:

AK⊥BH

K là trung điểm của BH

`=>`AK là trung trực của  BH

Nên :

AB=AH

CB=CH

Mà AC chung

`=>` ΔABC=ΔAHC (c.c.c)

`=>`gócAHC=gócABC=90°