Giải thích các bước giải:

a. Ta có $SA=SB$ (vì SA,SB là tiếp tuyến của (O))

$OA=OB$ (=R)

$\to SO $ là đường trung trực của $AB\to SO\perp AB\to\widehat{SHE}=90^o$

Do I là trung điểm MN$\to OI\perp MN\to\widehat{SIE}=90^o$

Tứ giác $SHIE$ có $\widehat{SHE}$ và $\widehat{SIE}$ cùng nhìn cạnh SE một góc $90^o$

Vậy tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn đường kính (SE)

b. Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OES$ có:

$\widehat O$ chung

$\widehat{OHI}=\widehat{OES}$ (cùng bù với $\widehat{SHI}$)

$\to\Delta OHI\sim\Delta OES(g.g)$

$\to \dfrac{OI}{OS}=\dfrac{OH}{OE}\to OI.OE=OH.OS$

c. Xét $\Delta SAO\bot A,AH\bot SO$ theo hệ thức lượng ta có:

$AO^2= OH.OS =R^2\to OI.OE=R^2$

d. Áp dụng định lý Pitogo vào $\Delta OIM\bot I$

có $OM=R,IM=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{R\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow OI^2=OM^2-IM^2=\dfrac{R^2}{4}\Rightarrow OI=\dfrac{R}{2}$

Theo câu c $OI.OE=R^2$

$\Rightarrow OE=\dfrac{R^2}{OI}=2R$

$\Rightarrow EI=OE-OI=\dfrac{3R}{2}$

Áp dụng định lý pitago vào $\Delta SOI\bot I, SO=2R,OI=\dfrac{R}{2}$

$SI^2=SO^2-OI^2=\dfrac{15R^2}{4}\Rightarrow SI=\dfrac{R\sqrt{15}}{2}$

$\Rightarrow SM=SI-MI=\dfrac{R\sqrt{15}}{2}-\dfrac{R\sqrt3}{2}=\dfrac{R(\sqrt{15}-\sqrt3)}{2}$

$S_{\Delta ESM}=\dfrac{EI.SM}{2}$

$=\dfrac{\dfrac{3R}{2}.\dfrac{R(\sqrt{15}-\sqrt3)}{2}}{2}$

$=\dfrac{3R^2(\sqrt{15}-\sqrt3)}{8}$.