Đáp án:

$V_{S.MBC} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48} \,(đvtt)$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $(gt)$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

$\Rightarrow \begin{cases}AH = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{a\sqrt2}{4}\\HC = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3a\sqrt2}{4}\end{cases}$

Do $SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SH\perp AC$

$\Rightarrow ∆SHA; \, ∆SHC$ vuông tại $H$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SH^2 + HA^2$

$\Rightarrow SH^2 = SA^2 - HA^2 = \dfrac{7a^2}{8}$

$SC^2 = SH^2 + HC^2 = 2a^2$

Ta cũng có:

$AC^2 = 2a^2$

$\Rightarrow SC = AC$

$\Rightarrow ∆SAC$ cân tại $C$

Ta lại có: $CM\perp SA \, (gt)$

$\Rightarrow MA= MS$

Hay $M$ là trung điểm của $SA$

Từ $M$ kẻ $MK\perp AC \,(K\in AC)$

$\Rightarrow MK//SH \, (\perp AC)$

$\Rightarrow MK\perp (ABCD)$

$\Rightarrow MK= \dfrac{1}{2}SH$ (theo tính chất đường trung bình)

Ta được:

$V_{S.MBC} = V_{S.ABC} - V_{M.ABC}$

mà $MK = \dfrac{1}{2}SH$

$\Rightarrow V_{M.ABC} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABC}$

Mặt khác: $V_{S.ABC} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABCD}$

Do đó $V_{S.MBC} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.a^2.\sqrt{\dfrac{7a^2}{8}} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48} \,(đvtt)$