Gọi $I$ là giao 3 đường trung tuyến $ΔABC$
KẺ $EG⊥BE$ TẠI $E$

$⇒I$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$⇒BE⊥CF$ tại $I$
Xét $ΔIBC$ vuông tại $I$

có $ID$ là đường trung tuyến ( do $AD$ là đường trung tuyến)

$⇒ID=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$

Hay $\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$ (do $AD$ là đường trung tuyến)

Ta có $EG⊥BE$ mà $BE⊥CF⇒EG//CF$

Xét $ΔABC$ có:

$F$ là trung điểm $AB$

$E$ là trung điểm $AC$

$⇒EF$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒EF//=\dfrac{1}{2}BC$

Ta có tứ giác $EFCG$ có: $EF//CG;EG//CF$

$⇒EFCG$ là hình bình hành

$⇒CF=EG$

$EF=CG$

Xét $ΔBEG$ vuông tại $E$

$⇒BE^2+EG^2=BG^2$ định lí Pitago

$⇒BE^2+CF^2=BG^2$ do $CF=EG$

Ta cần chứng minh $BG^2=AD^2$ Hay $BG=AD$

Thật vậy:

Ta có: $EF=\dfrac{1}{2}BC$ Mà $EF=CG$

$⇒CG=\dfrac{1}{2}BC$

Lại có: $\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$

$⇒\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=CG$

Hay $3.\dfrac{1}{3}.AD=DB+DC+GC$

Hay $AD=BG$

$⇒BG^2=AD^2$ 

$⇒BE^2+CF^2=AD^2(đpcm)$ 

B7 Hình vẽ