Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Mk chỉ mới chứng minh dc phần a,b,c thôi

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Achung\\
\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\left( { = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACF\left( {g.g} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABE \sim \Delta ACF\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AF}}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AF}}\\
\widehat Achung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {ACB}
\end{array}$

c) Ta có:

Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\Delta BDA \sim \Delta BFC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BF}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow BF.BA = BD.BC$

Và 

$\Delta CEB \sim \Delta CDA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CD}} = \dfrac{{CB}}{{CA}} \Rightarrow CE.CA = CD.BC$

Khi đó:

$CD.BC + BD.BC = BC\left( {CD + BD} \right) = B{C^2}$

d) Ta có:

$HE//MN//DI$ (Vì cùng vuông góc với $AC$)

Áp dụng ĐL Talet ta có:

$\dfrac{{NK}}{{HE}} = \dfrac{{DK}}{{DE}};\dfrac{{KM}}{{HE}} = \dfrac{{IK}}{{IH}}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
HE//DI \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{KE}} = \dfrac{{IK}}{{KH}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{DK + KE}} = \dfrac{{IK}}{{IK + KH}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{DE}} = \dfrac{{IK}}{{IH}}
\end{array}$

Như vậy: 

$\dfrac{{NK}}{{HE}} = \dfrac{{KM}}{{HE}} \Rightarrow NK = KM$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $MN$

Khi đó ta có:

ĐPCM $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{DI}} + \dfrac{1}{{HE}} = \dfrac{2}{{2NK}} = \dfrac{1}{{NK}} \Leftrightarrow \dfrac{{MK}}{{DI}} + \dfrac{{NK}}{{HE}} = 1(1)$

Thật vậy:

$\begin{array}{l}
NK//HE \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{HE}} = \dfrac{{DK}}{{DE}}\\
MK//DI \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{DI}} = \dfrac{{EK}}{{DE}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{DI}} + \dfrac{{NK}}{{HE}} = \dfrac{{DK}}{{DE}} + \dfrac{{EK}}{{DE}} = \dfrac{{DK + EK}}{{DE}} = 1\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $(1),(2) $$ \Rightarrow \dfrac{1}{{DI}} + \dfrac{1}{{HE}} = \dfrac{2}{{MN}}$