a)Vì BM là tia phân giác góc ABC ⇒ góc ABM= góc CBM

Xét Δ ABN và Δ CBN ,ta có :

AB=CB ( ΔABC đều )

góc ABM= góc CBM hay góc ABN= góc CBN

BN là cạnh chung 

⇒Δ ABN = Δ CBN (c.g.c)

⇒AN = NC ( 2 cạnh tg ứng )

⇒Δ ANC cân tại N 

Vậy Δ ANC cân tại N

b)Vì Δ ABN = Δ CBN (cmt) ⇒ góc BAN = góc BCN ( 2 cạnh tg ứng )

 Mà NA ⊥ AB tại A (GT) ⇒ góc BAN = 90°

⇒ Góc BCN =  90°

⇒ NC ⊥ BC tại C 

Vậy NC ⊥ BC tại C

c)Xét ∆ABC đều

=> BAC = ACB = 60° (t/c tam giác đều)

Ta có: BAC + CAN = BAN = 90°

=> 60° + CAN = 90°

⇒ CAE = 30°

Ta có : ACB + ACE = 180° (kề bù)

⇒ACE = 180° - 2.30° = 180° - 60°

⇒∆ ACE cân tại C

⇒AC=CE (T/C)

mà AC =BC ( Δ ABC đều )

⇒CE = BC 

Vì NC ⊥ BC tại C (cmb) ⇒ Δ NCB vuông tại C 

                                          Δ NCE vuông tại C

Xét Δ NCB vuông tại C và Δ NCE vuông tại C , ta có 

BC = CE (cmt)

NC là cạnh chung 

⇒Δ NCB = Δ NCE ( 2 cạnh góc vuông )

⇒ BN = EN ( 2 cạnh tg ứng )

⇒ Δ BNE cân tại N (dhnb)

Vậy Δ BNE cân tại N

d) Ta có : NC ⊥ BC tại C (cmb)

               BC = CE (cmc)

⇒ NC là trung trực của BE.

Vậy NC là trung trực của BE.

e)Vì Δ ABC đều ⇒ AB=AC= BC 

Mà AB = 10 cm 

⇒BC = 10 cm

Mà BC =CE 

⇒ CE = BC + CE = 20 (cm )

góc BAN = 90° hay góc EAN = 90°⇒Δ BAE vuông tại A 

BE^2=AB^2+AE^2

AE^2=BE^2-AB^2

AE^2=20^2-10^2

AE^2=400-100

AE^2=300=30^2

AE=30 

Chu vi tam giác ABE là :

10+20+30=60(cm)