a)

Xét $\Delta AEN$:

$AD=DE$ (gt)

$AM=MN$ (gt)

$\to DM$ là đường trung bình của $\Delta AEN$

$\to DM//EN$

mà $EN//BC \to DM//BC\,\,(//EN)$

$\to DMCB$ là hình thang (1)

Vì $DM//BC$

$\to \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AM}{AC}$ (định lí Talet) 

mà $AD=\dfrac{1}{3}AB$ (gt)

$\to AM=\dfrac{1}{3}AC$

Có: $AB=AC$ (gt)  $\to AD=AM$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACD$:

$AB=AC$ (gt)

$\widehat{A}$: chung

$AM=AD$ (cmt)

$\to \Delta ABM=\Delta ACD$ (c.g.c)

$\to BM=CD$ (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1), (2) $\to DMCB$ là hình thang cân

b)

Trong tứ giác $DMCB$: $EN//BC$ và $E$ là trung điểm của $DB$

$\to N$ là trung điểm của $MC$ (tính chất đường trung bình)

$\to MN=NC$

Xét $\Delta MNI$ và $\Delta CNB$:

$\widehat{MNI}=\widehat{CNB}$ (đối đỉnh)

$MN=CN$ (cmt)

$\widehat{IMN}=\widehat{BCN}$ (2 góc so le trong của $MI//BC$)

$\to \Delta MNI = \Delta CNB$ (g.c.g)

$\to MI=CB$ (2 cạnh tương ứng)

c)

Xét tứ giác $BMIC$: 

$MI//BC$ (vì $DM//BC$)

$MI=BC$ (cmt)

$\to BMIC$ là hình bình hành

$\to BM=IC$ (2 cạnh đối của hình bình hành thì bằng nhau)

mà $BM=CD$ (cmt)

$\to IC=CD\,\,(=BM)$

$\to \Delta DCI$ cân tại $C$

d)

Xét $\Delta ABC$:

$DM//BC$

$\to \dfrac{DM}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$ (định lí Talet)

$\to \dfrac{DM}{BC}=\dfrac{1}{3}$

$\to DM=\dfrac{1}{3}BC$

mà $BC=MI$ (cmt)

$\to DM=\dfrac{1}{3}MI \to MI=3MD$ (đpcm)