Đáp án:

$\overrightarrow {AI}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {DE}  =  - \overrightarrow {AF} $; $\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AF} $

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$

$\to EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to EF//BC$

Khi đó:

Áp dụng ĐL Talets ta có:

$\dfrac{{IF}}{{BD}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} = \dfrac{{IE}}{{DC}}$

$ \Rightarrow IF = IE \Rightarrow I$ là trung điểm của $EF$.

+) $I$ là trung điểm của $EF$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AI}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$

+) Ta có:

Áp dụng ĐL Talets ta có:

$\dfrac{{AI}}{{AD}} = \dfrac{{AF}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow I$ là trung điểm của $AD$

Lại có:

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD}  = \dfrac{2}{3}.2.\overrightarrow {AI}  = \dfrac{4}{3}.\overrightarrow {AI} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right) = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$

+) Ta có:

$E,D$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$

$\to DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to DE=\dfrac{AB}{2}$

$ \Rightarrow \overrightarrow {DE}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {FA}  =  - \overrightarrow {AF} $

+) Ta có:

$\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EC}  =  - \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AF} $

Vậy $\overrightarrow {AI}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {AG}  = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {DE}  =  - \overrightarrow {AF} $; $\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AF} $