`1,` Xét `(O)` có: `A` là điểm nằm chính giữa $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$

`⇒`$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ 

`⇒AB=AC`

Xét `(O)` có:

`\hat{ABC}=1/2sđ`$\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

`\hat{AEB}=1/2sđ`$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ `(cmt)`

`⇒\hat{ABC}=\hat{AEB}` Hay `\hat{ABD}=\hat{AEB}`

Xét `ΔABD` và `ΔAEB` có:

`\hat{BAE}`: góc chung

`\hat{ABD}=\hat{AEB}` `(cmt)`

`⇒ΔABD~ΔAEB` `(g.g)`

`⇒(AB)/(AE)=(AD)/(AB)` (các cặp cạnh tương ứng)

`⇒AB^2=AD.AE`

`2,` Xét `ΔABC` có: `AB=AC` `(cmt)`

`⇒ΔABC` cân tại `A`

Mà `AI` là trung tuyến `(I` là trung điểm của `BC)`

`⇒AI`là đường cao

`⇒AI\botBC⇒\hat{AIC}=90^o`

`CH\botAE` $(gt)$ `⇒\hat{AHC}=90^o`

Có `\hat{AHC}=\hat{AIC}=90^o`

`⇒` Hai điểm `H,I` cùng nhìn `AC` dưới một góc vuông

`⇒` Hai điểm `H,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `AC`

`⇒` Bốn điểm `A,I,C,H` cùng thuộc đường tròn đường kính `AC`