Đáp án:  $D.\,\,\sqrt{52}$

Giải thích các bước giải:

Có $A=AB\cap AC$

Nên tọa độ $A$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}5x-y-2=0\\x-5y+14=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}\Rightarrow A\left(1;3\right)$

Với $A\left( 1;3 \right)$ và $M\left( \dfrac{9}{5};\dfrac{8}{5} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{4}{5};-\dfrac{7}{5} \right)=\dfrac{1}{5}\left( 4;-7 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AM}}}=\left( 4;-7 \right)$ là một VTCP của đường thẳng $AM$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$

Nên $AD\bot BC\Rightarrow \widehat{ADC}=90{}^\circ $

Lấy $F$ sao cho $E$ là trung điểm $BF$

Mà $E$ là trung điểm $AD$

Nên $AFDB$ là hình bình hành

$\to AF=BD$ và $AF//BD$

$\to AF=CD$ và $AF//CD$

$\to AFCD$ là hình bình hành

Có $\widehat{ADC}=90{}^\circ $ nên $AFCD$ là hình chữ nhật

Vì $AFCD$ là hình chữ nhật

Nên $\widehat{FCD}=90{}^\circ $ và $A,F,C,D$ cùng thuộc một đường tròn

Tứ giác $FCDM$ có $\widehat{FCD}=\widehat{FMD}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{FCD}+\widehat{FMD}=180{}^\circ $

$\Rightarrow FCDM$ nội tiếp

$\Rightarrow F,C,D,M$ cùng thuộc một đường tròn

Vậy 5 điểm $A,M,D,C,F$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{ADC}=90{}^\circ $

$\Rightarrow AM\bot MC$

$\Rightarrow MC$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{AM}}}=\left( 4;-7 \right)$ làm VTPT

Và đường thẳng $MC$ đi qua $M\left( \dfrac{9}{5};\dfrac{8}{5} \right)$

Nên phương trình đường thẳng $MC$ có dạng:

$MC:4\left( x-\dfrac{9}{5} \right)-7\left( y-\dfrac{8}{5} \right)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,MC:4x-7y+4=0$

Ta có $C=MC\cap AC$

Nên tọa độ $C$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}4x-7y+4=0\\x-5y+14=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}\Rightarrow C\left(6;4\right)$

Vậy $\overrightarrow{OC}=\left( 6;4 \right)\Rightarrow OC=\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{52}$

Chọn câu $D$