Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m < - \dfrac{5}{2}\\m > \dfrac{3}{2}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{1}{2}\cos4x + \dfrac{4\tan x}{1 + \tan^2x} = m$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(1 - 2\sin^22x) + 4\sin x\cos x = m$

$\Leftrightarrow 2\sin^22x - 4\sin2x = 1 - 2m$

Đặt $t = \sin2x, |t| \leq 1$

Phương trình trở thành:

$2t^2 - 4t = 1 - 2m$ $(*)$

Xét $g(t) = 2t^2 - 4t$

$\Rightarrow g'(t) = 4t - 4$

$g'(t) = 0 \Leftrightarrow 4t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Xét bảng biến thiên của $g(t)$ trên đoạn $[-1;1]$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
t & -\infty & & -1 &&&&& & 1 & &  & +\infty\\
\hline
g'(t) & & &  |& & &-& & & 0& & &  \\
\hline
&&&6&&&&&&&\\
g(t) & &&&&&\searrow& & & &\\
&&&&&&&&&-2\\
\hline
\end{array}$

Phương trình vô nghiệm 

$\Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm

$g(t)$ và đường thẳng $y = 1 - 2m$ không có điểm chung

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}1 - 2m >6\\1 - 2m < -2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m < - \dfrac{5}{2}\\m > \dfrac{3}{2}\end{array}\right.$