Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\widehat{HAC}=90^o-\widehat{ACH}=90^o-\widehat{NCH}=\widehat{NHC}$

             $\widehat{AHN}=90^o-\widehat{NHC}=\widehat{NCH}=\widehat{C}$

2.Ta có: $\Delta NHC$ vuông tại $N, K$ là trung điểm $HC$

$\to KN=KH=KC$

$\to\widehat{KNH}=\widehat{KHN}$

Ta có $HM\perp AB\to HM//AN\to \widehat{HAN}=\widehat{AHM}$

Mà $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o,\Delta AHM,\Delta AHN$ có chung cạnh $AH$

$\to\Delta AHM=\Delta HAN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AN=HM, HN=AM$

Lại có $\widehat{OAN}=\widehat{OHM}, \widehat{ONA}=\widehat{OMH}, AN=MH (AN//HM)$

$\to\Delta OAN=\Delta OHM(c.g.c)$

$\to OA=OH\to O$ là trung điểm $AH$

Lại có $\Delta ANH$ vuông tại $N$

$\to OA=OH=ON$

$\to\widehat{ONH}=\widehat{OHN}=\widehat{AHN}=\widehat{C}=\widehat{NCK}=\widehat{KNC}$

$\to \widehat{ONK}=\widehat{ONH}+\widehat{HNK}=\widehat{KNC}+\widehat{HNK}=\widehat{HNC}=90^o$

$\to\Delta NMK$ vuông tại $N$

$\to MK^2=MN^2+NK^2$

3.Ta có $I,O$ là trung điểm $BH,AH$
$\to OI$ là đường trung bình $\Delta HAB\to OI//AB\to OI\perp AC$

Mà $AH\perp BC\to AH\perp CI$
Lại có $AH\cap IO=O\to O$ là trực tâm $\Delta AIC\to CO\perp AI$