a) Trên tia đối của $NM$ lấy điểm $E$ sao cho $NM = NE$

Xét $ΔCNE$ và $ΔHNM$ có:

$NM = NE$ (cách dựng)

$\widehat{CNE} = \widehat{HNM}$ (đối đỉnh)

$HN = NC \, (gt)$

Do đó $ΔCNE = ΔHNM \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{MHN} = \widehat{ECN} = 90^o$

$\Rightarrow EC\perp BC$

mà $AH\perp BC \, (gt)$

nên $AH//CE$

hay $MA//CE$

Mặt khác: $ΔCNE = ΔHNM$

$\Rightarrow CE = MH$

mà $MH = MA \, (gt)$

nên $CE = MA$

Xét tứ giác $ACEM$ có:

$MA//CE$

$MA = CE$

Do đó $ACEM$ là hình bình hành

$\Rightarrow ME = AC; \, ME//AC$

hay $MN//AC$

Ta lại có: $NE = NM = \dfrac{1}{2}ME$ 

$\Rightarrow NM = \dfrac{1}{2}AC$

b) Ta có: $MN//AC$ (câu a)

mà $AC\perp AB \, (gt)$

nên $MN\perp AB$

Xét $ΔABN$ có:

$MN\perp AB$

$AH\perp BN$

$AH, MN$ cắt nhau tại $M$

$\Rightarrow M$ là trực tâm của $ΔABM$

$\Rightarrow BM\perp AN$