Đáp án:

Ta có : 

$( x + y)( x + z ) = ( yz + y)(yz + z) = y.(z + 1) .z.(y+1)$ ( x,y,z ∈ Z)

Ta thấy y ; y + 1 là 2 số TN liên tiếp 

=> 1 trong 2 số là số chẵn

=> y.(y+1) chia hết cho 2  (1)

Lập luận tương tự ta được : 

=> z.(z+1) chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2)

=> y.(y+1).z.(z+1) chia hết cho 4

=> đpcm 

2. Gọi số đó là t ( t ∈  N)

Ta sẽ biểu diễn t dưới dạng : 5k ; 5k + 1 ; 5k + 2 ; 5k + 3 ; 5k + 4 ( k ∈ N )

Với $t = 5k => t^2 = (5k)^2 = 25k^2$chia hết cho 5 hay là chia 5 dư 0 

Với $t = 5k + 1 => t^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1$

Do 25k^2 chia hết cho 5 ; 10k chia hết cho 5 ; 1 chia 5 dư 1 

=> $25k^2 + 10k + 1$ chia 5 dư 1 

=> $t^2$ chia 5 dư 1

Với $t = 5k + 2 => t^2  =(5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4$

Lập luận tương tự khác là 4 chia 5 dư 4

=> $25k^2 + 10k + 4$ chia 5 dư 4 

=> t^2 chia 5 dư 4

Với $t = 5k + 3 => t^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9$

Tương tự khác chỗ 9 chia 5 dư 4 

=> $t^2$ chia 5 dư 4 

Với $t = 5k + 4 => t^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16$

Tương tự khác chỗ 16 chia 5 dư 1 

=> $t^2$ chia 5 dư 1 

Vậy mọi số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Câu 2. Áp dụng đồng dư

Gọi số đó là t ( t ∈ N)

Do t là STN => t chia 5 có thể dư là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 

Với t chia 5 dư 0 

=> $t^2$ chia hết cho 5 

=> t^2 chia 5 dư 0 

Với t chia 5 dư 1 

$=> t ≡ 1 ( mod 5)$

$=> t^2 ≡ 1 ( mod 5)$

Với t chia 5 dư 2

$ => t ≡ 2 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 2^2 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 4 (mod 5)$

=> t^2 chia 5 dư 4 

Với t chia 5 dư 3 

$ => t ≡ 3 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 3^2 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 4 (mod 5)$

=> t^2 chia 5 dư 4 

Với t chia 5 dư 4 

$ => t ≡ 4 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 4^2 ( mod 5)$

$ => t^2 ≡ 1 (mod 5)$

=> t^2 chia 5 dư 1

Giải thích các bước giải:

`1,` `(x+y)(x+z)`

`=x^2+xy+xz+yz`

`=y^2z^2+y^2z+yz^2+yz`

`=y^2(z^2+z)+y(z^2+z)`

`=(y^2+y)(z^2+z)`

`=[y(y+1)].[z(z+1)]`

`Vì` `y(y+1);z(z+1)⋮2`

`⇒[y(y+1)].[z(z+1)]⋮4` `(đpcm)`

`2,` gọi số đó là `x`

`⇒x∈{5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}` `(k∈N)`

\(⇒\left[ \begin{array}{l}x=5k\\x=5k+1\\x=5k+2\\x=5k+3\\x=5k+4\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}x^2=25k^2⋮5\\x^2=25k^2+10k+1\text{ chia 5 dư 1}\\x^2=25k^2+20k+4\text{ chia 5 dư 4}\\x^2=25k^2+30k+9\text{ chia 5 dư 4}\\x^2=25k^2+40k+16\text{ chia 5 dư 1}\end{array} \right.\) 

`⇒` Mọi `SCP` đều chia `5` dư `0;1;4` `(đpcm)`