Đáp án:

$A. \dfrac{a^3\sqrt6}{2}$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $CK\perp AD \, (K\in AD)$

$\Rightarrow ABCK$ là hình vuông

$\Rightarrow AK = KC = KD = a$

$\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow CD\perp AC$

Mà $SA \perp CD \, (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SAC)$

$\Rightarrow CD\perp SC$

Ta có:

$(SCD)\cap (ABCD) = CD$

$SC\perp CD \, (cmt)$

$AC\perp CD$

$\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AC.\sqrt3$

Do $ABCK$ là hình vuông

Nên $AC = AB\sqrt2 = a\sqrt2$

$\Rightarrow SA = a\sqrt6$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}(BC + AD).AB.SA = \dfrac{1}{6}(a + 2a).a.a\sqrt6 = \dfrac{a^3\sqrt6}{2}$

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$
Hình bình hành $AHCB$ có $AH=AB=a, \widehat{A}=90^o$

$→ AHCB$ là hình vuông

$→ AC=AB\sqrt[]{2}=a\sqrt[]{2}$

$ΔACD$ có đường trung tuyến $CH=\dfrac{1}{2}AD=a$

$→ ΔACD$ vuông tại $C → AC⊥CD$

Ta có: $(SCD)∩(ABCD)=CD$

Lại có $AC⊥CD, SC⊥CD$ (do $CD⊥AC, CD⊥SA → CD⊥(SAC) → CD⊥SC$)

$→$ Góc giữa $(SCD)$ và đáy là $\widehat{SCA}=60^o$

$→ SA=AC.tan60^o$

$=a\sqrt[]{2}.\sqrt[]{3}$

$=a\sqrt[]{6}$

Diện tích đáy là:

$S_{đáy}=\dfrac{(AD+BC).AB}{2}=\dfrac{3a^2}{2}$

Vậy thể tích kc $S.ABCD$ là: 

$V_{chóp}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a^2}{2}.a\sqrt[]{6}=\dfrac{a^3\sqrt[]{6}}{2}$

(Đáp án $A$)