Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AD$ là đường kính của $(O)\to AB\perp BD, AC\perp CD$

$\to BD//CH, CD//BH$ vì $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to HBDC$ là hình bình hành

b.Vì $HBDC$ là hình bình hành 

$\to \vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=\vec{HA}+(\vec{HB}+\vec{HC})$

$\to \vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=\vec{HA}+\vec{HD}$

$\to \vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}$ vì $O$ là trung điểm $AD$

Ta có:

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=(\vec{OH}+\vec{HA})+(\vec{OH}+\vec{HB})+(\vec{OH}+\vec{HC})$

$\to \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OH}+(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC})$

$\to \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OH}+2\vec{HO}$

$\to \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OH}-2\vec{OH}$

$\to \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}$

c.Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

$\to \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

$\to \vec{OH}=(\vec{OG}+\vec{GA})+(\vec{OG}+\vec{GB})+(\vec{OG}+\vec{GC})$

$\to \vec{OH}=3\vec{OG}+(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})$

$\to\vec{OH}=3\vec{OG}$

$\to O,G,H$ thẳng hàng

d.Từ câu c

$\to \vec{OH}=3\vec{OG}$

$\to \vec{OH}-\vec{OG}=2\vec{OG}$

$\to\vec{GH}=2\vec{OG}$