Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB\cap CD$ tại trung điểm $O$ của mỗi đoạn thẳng

$\to OC=OD, OA=OB$

Mà $\widehat{AOC}=\widehat{DOB},\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta OAC=\Delta OBD(c.g.c), \Delta OAD=\Delta OBC(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to AC=BD, AD=BC$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $\widehat{OAC}=\widehat{OBD}\to AC//BD$

                $\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\to AD//BC$

c.Xét $\Delta ABC,\Delta BAD$ có:

Chung cạnh $AB$

$AC=BD, AD=CB$

$\to\Delta ABC=\Delta BAD(c.c.c)$

Xét $\Delta ACD,\Delta BDC$ có:

Chung cạnh $CD$

$AC=BD, AD=BC$

$\to\Delta ACD=\Delta BDC(c.c.c)$

d.Ta có: $AM=BN, \widehat{MAO}=\widehat{OBN}$ vì $AC//BD, OA=OB$

$\to\Delta OAM=\Delta OBN(c.g.c)$

$\to \widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

$\to M,O,N$ thẳng hàng

Ta có: $AB, CD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đoạn $(gt)$

$\Rightarrow ACBD$ là hình bình hành

$\Rightarrow \begin{cases}AC=BD\\AC//BD\\BC=AD\\BC//AD\\\widehat{A} = \widehat{B}\\\widehat{C} = \widehat{D}\end{cases}$

Xét $ΔABC$ và $ΔBDA$ có:

$AC = BD$

$BC=AD$

$AB:$ cạnh chung

Do đó $ΔABC=ΔBDA\, (c.c.c)$ 

Xét $ΔACD$ và $ΔBDC$ có:

$AC = BD$

$BC=AD$

$CD:$ cạnh chung

Do đó $ΔACD=ΔBDC\, (c.c.c)$

Xét $ΔAMO$ và $ΔBNO$ có:

$AM = BN \, (gt)$

$AO = BO \, (gt)$

$\widehat{MAO} = \widehat{NBO}$ (so le trong)

Do đó $ΔAMO=ΔBNO\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{MOA} = \widehat{NOB}$ (hai góc tương ứng)

mà $A, O, B$ thẳng hàng

nên $M, O, N$ thẳng hàng